Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского

В геометрии Лобачевского подоб­ных фигур не существует. Из отсут­ствия подобия вытекает, что треугольник вполне определяется своими тремя углами (два треугольника с попарно равными углами равны), что отрезок мо­жет быть определен при помощи угла (например, как сторона равностороннего треугольника с заданным углом).

В геометрии Евклида для определения отрезка не­обходимо задать непременно некоторый другой отре­зок (или систему отрезков) и указать то геометриче­ское построение, при помощи которого первый может быть получен из второго (чаще всего задается еди­ница длины и число, выражающее длину определяе­мого отрезка). В геометрии Лобачевского дело об­стоит проще: для определения отрезка не надо зада­вать другого отрезка, достаточно указать только гео­метрическое построение, при помощи которого может быть получен определяемый отрезок (например, как сторона равностороннего треугольника с углом, по­лучаемым из прямого угла при помощи того или иного построения).

Если реальное пространство подчиняется законам геометрии Евклида, эталон длины необходимо дол­жен быть реализован при помощи некоторого твер­дого тела; если же в реальном пространстве имеет место геометрия Лобачевского, то единица длины мо­жет быть задана некоторым геометрическим построе­нием - в этом случае само пространство своими гео­метрическими свойствами определяет ту или иную единицу длины. Этот факт выражают, говоря, что в пространстве Лобачевского существуют «абсолютные единицы длины», т.е. не зависящие от задания тех или иных отрезков.

Таким образом, в геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измерения отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии (для углов в обеих геометриях существуют абсолютные единицы меры, например прямой угол, получающийся при помощи геометрического построения независимо от задания тех или иных углов).