Начала» Евклида

Аксиоматический метод построения геометрии впервые был использован Евклидом в его знаменитом трактате из тринадцати книг, который он назвал «Начала». «Начала» Евклида более двух тысяч лет счи­тались идеалом построения всякой научной тео­рии.

О жизни Евклида сохранились очень скудные сведения. Известно, что он жил при царе Птоле­мее и преподавал математику в Александрии. К этому времени трудами многих древнегрече­ских ученых, предшественников и современников Евклида, было накоплено немало разрозненного геометрического материала. И этот разрознен­ный материал надо было соединить в единое целое, чтобы получилось стройное здание, имя которому «Геометрия». Такое «архитектурное» оформление геометрии как науки и выполнил Евклид в своих знаменитых «Началах». Кроме «Начал», он писал научные сочинения под на­званиями «Данные», «О делении фигур», «Опти­ка», «Конические сечения» (последнее до нас не дошло). Евклид занимался также астрономией и оставил после себя астрономический трактат.

Все 13 книг «Начал» Евклида построены по единому плану на основе дедуктивного метода изложения. Хотя «Начала» написаны как науч­ный трактат, в течение ряда веков они были чуть ли не единственным руководством, по которому училась молодежь. И это получилось не потому, что не было других книг по геометрии. Были, на­пример, «Начала» таких древнегреческих авто­ров как Леон, Февдий Магнезийский. Но они, как правило, не могли конкурировать с «Начала­ми» Евклида, так как значительно уступали им в доходчивости и простоте изложения, и, естест­венно, рано или поздно были забыты. О колос­сальном авторитете «Начал» Евклида можно судить по тому факту, что слова «Евклид» и «геометрия» стали чуть ли не синонимами. В те­чение ряда веков, когда произносили слово «Евклид», подразумевали слово «геометрия».

Выше отмечалось, что «Начала» Евклида в течение ряда столетий считались вершиной на­учной строгости. Недаром Евклид имел так мно­го подражателей, которые переписывали его «Начала» на разные языки и решались только комментировать их и делать пояснения, не под­вергая форму и содержание сколько-нибудь прин­ципиальной критике.

Нашлись философы, которые возвели «Нача­ла» Евклида в абсолют, т.е. в непогрешимое учение о свойствах окружающего нас реального пространства. «Начала» Евклида внимательно изучал Исаак Ньютон (1643 - 1727) и на основе их построил свою механику, которую принято теперь называть классической. «Начала» Евкли­да хорошо изучил и Лобачевский, признав их совершенно верными и правильно отражающими реальное пространство, но далеко не полными и в известном смысле произвольными. Немецкий философ Иммануил Кант (1724—1804) считал, что аксиомы «Начал» Евклида носят чисто апри­орный (внеопытный) характер, т.е. не зависят от опыта людей и развития человеческого об­щества.

Все, что излагается в «Началах» Евклида, в настоящее время называется «евклидовой гео­метрией». Насколько большую славу снискали «Начала» Евклида, можно судить хотя бы по то­му, что в Англии до XX в. считалось «модой» изучать геометрию по первоисточнику, т.е. по некоторым книгам «Начал» Евклида. Больше того, все современные учебники чуть ли не до­словно копируют Евклида или написаны под большим его влиянием. Это влияние в той или иной степени чувствуется и в наших школьных учебниках геометрии.

Было бы неверно утверждать, что «Начала» Евклида содержат все, что знали древние греки по геометрии. Их знания по геометрии простира­лись значительно дальше. «Начала» Евклида, выражаясь современной терминологией, содер­жат материал, относящийся только к элементар­ной геометрии, и совершенно не содержат мате­риала высшей геометрии. Например, учение о конических сечениях Евклид не включил в свои «Начала», а написал на эту тему специальный трактат.

Содержание «На­чал» Евклида.

В первой книге излагаются условия равен­ства треугольников, теории параллельных линий, соотношения между сторонами и углами тре­угольников, учение о площадях треугольников и параллелограммов, доказывается теорема Пифа­гора в ее геометрической формулировке.

Во второй книге — геометрическая алгебра, состоящая из целого ряда алгебраических тож­деств, доказываемых геометрическим способом. Заканчивается книга геометрической теорией решения квадратных уравнений.

В третьей — учение о круге и окружности, о секущих и касательных и об углах, образуемых ими, а также о степени точки относительно ок­ружности.

В четвертой — учение о вписанных и описан­ных многоугольниках, а также построение пра­вильных многоугольников (четырехугольника, пятиугольника и пятнадцатиугольника).

В пятой — в геометрической форме излагается теория рациональных и иррациональных чисел, включая и основные действия над ними, а также дается геометрическая теория пропорций по Евдоксу, которой древние греки владели в совер­шенстве.

В шестой — учение о подобных фигурах и ре­шение на отыскание пропорциональных величин, расширение геометрической алгебры, применение теории пропорций, изложенной в пятой книге.

В седьмой, восьмой и девятой книгах — гео­метрическая теория чисел, содержащая учение о наибольшем общем делителе и наименьшем кратном (седьмая книга), а также учение о не­прерывных пропорциях, относимых к числам, и учение о соотношении между вторыми и треть­ими степенями чисел (восьмая и девятая книги). В этих книгах представлена известная теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, доказываемая методом от противного, а также теорема о четных совершенных числах.

В десятой книге — дальнейшее изложение геометрической алгебры, включающей в себя учение о несоизмеримых величинах, и квадратич­ные иррациональности.

В одиннадцатой, двенадцатой и тринадцатой книгах — стереометрия, состоящая из рассмот­рения задач на определение отношения площа­дей кругов, объемов пирамид и других тел, причем, при решении этих вопросов используется метод исчерпывания Евдокса (одиннадцатая и двенадцатая книги). «Начала» Евклида закан­чиваются изучением правильных многогранни­ков, к которым относятся четырехгранник (тетра­эдр), ограниченный четырьмя правильными треугольниками; восьмигранник (октаэдр), ог­раниченный восьмью правильными треугольни­ками; двадцатигранник (икосаэдр), ограничен­ный двадцатью правильными треугольниками; шестигранник (гексаэдр), ограниченный шестью квадратами (куб); двенадцатигранник (додека­эдр), ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками.