Рождение неевклидовой геометрии

Исследования Швейкарта и Тауринуса. Первыми, кто вполне сознательно подошел к построению исходных теорем неевклидовой гео­метрии до Лобачевского, были немецкие ученые Швейкарт и Тауринус.

Профессор из Магдебурга Швейкарт (1780 - 1859) был юристом. Изучая историю неудачных попыток доказать V постулат и подходя к этому вопросу без всякой ученой предвзятости, он приходит к выводу, что наряду с обыкновенной евклидовой геометрией существует другая, неевклидова гео­метрия, названная им «астральной» (звездной) геометрией. Свои результаты по астральной геометрии Швейкарт получил в Харькове, где он состоял профессором права с 1812 по 1817 г. О прямолинейном и смелом высказывании этих идей можно судить по письму, написанному им в 1818 г. великому немецкому математику Гауссу, непререкаемому авторитету в вопросах геометрии, носившему в то время почетный титул «короля математиков». Свою заметку он послал Гауссу не прямо, а через своего товарища проф. Герлинга.

В этом письме говорится: «Существует двоя­кая геометрия: геометрия в узком смысле сло­ва - евклидова - и звездное (astralische) учение о величинах. Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трех углов не равна двум прямым. Принимая это, можно стро­жайшим образом доказать следующее:

а) что сумма трех углов в треугольнике мень­ше двух прямых;

б) что сумма эта тем меньше, чем больше площадь треугольника;

в) что высота прямоугольного равнобедренно­го треугольника, постоянно возрастая с возраста­нием боковых сторон, не может превзойти неко­торую линию, которую я называю константой».

Далее Швейкарт пишет, что евклидова гео­метрия будет иметь место в предположении, что постоянная бесконечно велика. Только тогда ока­лывается справедливым, что сумма углов тре­угольника равна двум прямым углам. Это легко доказать, лишь только мы примем, что постоян­ная бесконечно велика.

Письмо было послано, но нужной поддержки в печати от Гаусса Швейкарт так и не получил, хотя тот разделял взгляды Швейкарта и сам был склонен когда-нибудь заняться этим вопросом. В ответ Гаусс на­писал Герлингу: «Заметка проф. Швейкарта доставила мне чрезвычайно много удовольствия, и я прошу передать от ме­ня по этому поводу самый лучший отзыв». Но, видимо, не только этого ожидал Швейкарт от Гаусса. Не найдя поддержки со стороны Гаусса, Швейкарт, не имевший к тому же специального математического образования, стал, по-видимо­му, сомневаться в своих результатах. Свои замечательные идеи, по­священные разработке звездной геометрии, Швейкарт не опубликовал Пыл к астральной геометрии пропал, занятия ею были заброшены, и он к ним больше не возвращался.

Как потом выяснилось, «король математиков» в вопросах неевклидовой геометрии был более чем осторожен; вынашивая их в голове, он не спешил с их письменным оформлением и тем более с их публикацией. Он просто боялся быть непонятым и поставить под удар свой научный престиж.

Дальнейшей разработкой идей Швейкарта за­нялся его племянник Тауринус (1794 - 1874). В 1825 г. он выпустил работу «Теория параллель­ных линий». В этой работе он опровергает гипоте­зу тупого угла четырехугольника Саккери и со­знательно развивает геометрию, вытекающую из гипотезы острого угла этого четырехугольника. В другой своей работе (1826) Тауринус намечает формальные пути построения неевклидовой гео­метрии.

Признавая логическую непротиворечивость не­евклидовой геометрии, Тауринус, однако, считал ее непригодной для реальной действительности и поэтому не имеющей никакого интереса.

Тауринус также обращался со своими результа­тами к Гауссу. И даже получил от Гаусса письмо, датированное 8 ноября 1824 г., но к сожалению, в этом письме Гаусс больше гово­рит о своих собственных результатах в области неевклидовой геометрии, чем о результатах Тауринуса, считая их для себя пройденным этапом, и не только не побуждает молодого ученого к но­вым исследованиям и дерзаниям, а, наоборот, расхолаживает его. Письмо Гаусса заканчивается следующими характерными словами: «Относи­тельно человека, который обнаружил глубокий математический ум, я не опасаюсь, что дурно пой­мет изложенное выше (а выше изложены про­граммные вопросы неевклидовой геометрии); но во всяком случае вы должны смотреть на это, как на частное сообщение, которое отнюдь не должно быть опубликовано».

Тауринус, однако, решил, что следует зани­маться теорией параллельных линий и не дер­жать новое открытие под сукном. Именно это за­ставило его опубликовать упомянутые работы одну за другой. И когда в предисловии к последней своей брошюре он осторожно высказал поже­лание, чтобы Гаусс опубликовал свое мнение по ному вопросу, «король математиков» не на шут­ку рассердился и порвал всякие связи с Тауринусом. После этого все письма Тауринуса к Гауссу оставались без ответа... В обстановке полного непризнания своих научных работ ученый впал в болезненное состояние, приведшее его к потере душевного равновесия. Он сжег свои брошюры и навсегда отошел от науки.

Н. И. Лобачевский и его геометрия. В начале XIX века впервые в истории гениальный русский ученый Николай Иванович Лобачевский пришел к выводу, что возможна такая геометрия, в которой место V постулата занимает противоположное допущение. Этим самым Н. И. Лобачевским окон­чательно была решена проблема V постулата.

Н. И. Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде. С 1802 по 1807 г. учился в Казанской гимназии, с 1807 по 1811 г. состоял студентом незадолго до того основанного Казанского университета, с 1814 г. - адъюнкт, с 1816 г. - про­фессор того же университета, с 1827 по 1846 г. - его ректор. С 1846 по 1865 г. - помощник попечителя Казанского учебного округа. Скончался Н. И. Лобачевский 24 февраля 1866 г.

В течение первых лет преподавательской деятельности в Казанс­ком университете Н. И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудача этих попыток и попыток предшественников привела его к новой и смелой идее; V постулат доказать нельзя, его справедливость не вытекает из остальных аксиом геометрии; при­нятие аксиомы, представляющей собой отрицание V постулата, приво­дит к созданию новой геометрии, существенно отличной от «употре­бительной» геометрии Евклида. Дата открытия новой геометрии - 23 февраля 1826 г.; в этот день Н. И. Лобачевский сделал на заседании физико-математического факультета Казанского университета доклад: «Краткое изложение основ геометрии со строгим доказательством те­оремы о параллельных»; текст его был представлен факультету 18 фев­раля 1826 г. на французском языке. В этом сочинении содержались основы новой геометрии; оно составило первую часть мемуара «О началах геометрии», напечатанную в 1829 - 1830 гг. в журнале «Казан­ский вестник».

В дальнейших своих работах Лобачевский разработал новую гео­метрию, названную им «воображаемой», весьма основательно; он дал для нее и аналитические, и дифференциально-геометрические методы. Наиболее доступное изложение начал «воображаемой геометрии» мы найдем в работе «Геометрические исследования по теории парал­лельных» (1840), вошедшей в том I полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского.

К тем же идеям пришли выдающийся венгерский математик Я. Бойяи (1802 - 1860) и великий немецкий математик Гаусс (1777 - 1855). Я. Бойяи опубликовал в 1832 г. на латинском языке произведение: «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...» (по-латински: «Appendix...»). В этой работе» составившей приложение к математическому трактату его отца, Фаркаша Бойяи, также построена геометрия, в которой V постулат за­менен его отрицанием.

Гаусс своих исследований по новой геометрии, названной им не­евклидовой, не опубликовал. -

Все это показывает, что приоритет в открытии «воображаемой гео­метрии» неоспоримо принадлежит Н. И. Лобачевскому: он опубли­ковал ее начала на три года ранее Я. Бойяи, а в дальнейшем разра­ботал ее значительно подробнее, чем это сделал Я. Бойяи. В по­смертных бумагах Гаусса были обнаружены лишь начальные сведения неевклидовой геометрии. Поэтому с полным основанием новая, созданная Н.. И. Лобачевским, геометрия называется геометрией Лобачевского.

Работы Н. И. Лобачевского и Я, Бойяи не встретили понимания И признания у современников. Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликована переписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались восторженные отзывы об ис­следованиях Лобачевского и Бойяи, внимание математиков всего мира, было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочислен­ные исследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г.; в ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрия Лобачевс­кого. Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий мате­матик Ф. Клейн (1849 - 1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правомер­ности.

Значение геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского сыграла огромную роль в развитии геометрии; она уничтожила монополию геометрии Евклида и чрезвычайно расширила рамки геометрических исследований. К настоящему времени создано очень много геометрических наук: различного рода неевклидовы геометрии, риманова геометрия, геометрии аффинной и про­ективной связности и дальнейшие их обобщения.

Со времени открытия геометрии Лобачевского и ее всеобщего признания начинается новая эпоха в истории геометрии. Очень ярко оценено значение открытия Лобачевского в следующем высказывании известного английского математика В. Клиффорда (1845 - 1879): «Чем Везалий был для Галена, чем Коперник был для Птолемея, тем Лобачевский был для Евклида. Между Коперни­ком и Лобачевским существует любопытная параллель - оба они славяне по происхождению; каждый из них произвел революцию в научных воззрениях; и обе эти революции имеют одинаково громад­ное значение - это революции в нашем понимании космоса».

Геометрические идеи Лобачевского сыграли значительную роль в решении вопроса о геометрических свойствах окружающего нас мира. Как следует из теории относительности Эйнштейна (специаль­ной и общей), пространственные, временные и материальные свойства мира должны рассматриваться в диалектическом единстве. В основе теории Эйнштейна лежат риманова геометрия и дальнейшие ее обоб­щения, создание которых базируется, в конечном счете, также на гео­метрии Лобачевского. Таким образом, достижение Лобачевского открыло пути для исследования геометрических свойств космоса. В то же время следует иметь в виду, что для земных расстояний с боль­шой точностью, можно пользоваться геометрией Евклида. Как пока­зали геодезические измерения, специально производившиеся Гауссом на земной поверхности, сумма углов плоских треугольников рав­на 180° с точностью до 0,00001 секунды.

Открытие Лобачевского сыграло важную роль и в другом отноше­нии: как было отмечено выше, оно решило многовековую проблему V постулата Евклида и тем самым снова привлекло внимание матема­тиков к основам геометрии.