![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Постулаты параллельности Евклида и Лобачевского и их связь с вопросом о сумме углов треугольника и вопросом о существовании подобных фигур.
В XVIII в. созрели необходимые предпосылки для возникновения новых идей, связанных с геометрией Лобачевского, отрицающей V постулат и все его эквиваленты. Нашлись ученые, которые были близки к этим идеям. Но, скованные старыми традициями, воспитанные на «Началах» Евклида и уверенные, что V постулат рано или поздно все же будет доказан (на основании аксиом абсолютной геометрии), они слегка приоткрывали дверь в новую геометрию, даже заглядывали в этот новый мир, но тут же, пораженные его необычностью и несоответствием своим наглядным представлениям, шарахались в сторону от этой двери, и она наглухо закрывалась перед ними.
К этим ученым принадлежали итальянский математик Саккери (1667 - 1733), швейцарский ученый Ламберт (1728 - 1777), французский математик Лежандр. Они являются стихийными предшественники открытия Лобачевского. Ими были получены первые теоремы неевклидовой геометрии. В то время в геометрических представлениях старое было куда сильнее нового. Поэтому эти ученые вели исследования не для утверждения новых идей, а чтобы похоронить эти идеи и доказать вместе с V постулатом незыблемость «Начал» Евклида, как единственно возможной геометрии.
Исследования Саккери. Саккери принадлежавший к ордену иезуитов, все свободное время отдавал изучению «Начал» Евклида и их критическому разбору. Результаты своих исследований он оформляет в виде трактата под характерным названием «Евклид, очищенный от всех пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии» (1733 г.).
Для доказательства V постулата Саккери строил четырехугольник ABCD, у которого углы А и В при нижнем основании прямые, а боковые стороны AD и ВС равны (рис. 6). Такие четырехугольники принято называть четырехугольниками Саккери. Специальной теоремой Саккери доказывает, что углы С и D при верхнем основании равны. Поэтому имеем, полное право каждый из этих углов обозначать через α. Относительно величины угла α Саккери устанавливает три гипотезы:
1) гипотезу тупого угла, согласно которой угол α тупой;
2) гипотезу прямого угла, согласно которой угол α прямой;
3) гипотезу острого угла, согласно которой угол α острый.
Саккери доказывает, что гипотеза прямого угла эквивалентна V постулату. Для доказательства V постулата он старается, не прибегая к его эквивалентам, логически установить, что угол α прямой, т.е. из трех гипотез имеет место только одна, а именно - вторая.
Рис. 6
Саккери устанавливает, что гипотеза тупого угла приводит к противоречию и, значит, должна быть отвергнута. Приняв гипотезу острого угла, Саккери получает ряд следствий, противоречащих привычным геометрическим представлениям. Однако понимая, что нельзя отвергнуть гипотезу острого угла только на том основании, что основанные на ней выводы приводят к утверждениям, противоречащим наглядным представлениям, Саккери ищет логическое противоречие. Такое логическое противоречие, как ему кажется, он находит, однако оно оказывается следствием вычислительной ошибки.
Он пишет: «При гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий... Между тем опровергнуть гипотезу острого угла мне не удается иначе, как доказав, что длина эквидистанты равна длине ее прямолинейного базиса...» Определяя длину кривой методом бесконечно малых, Саккери допустил ошибку, приведшую его к неверному заключению о том, что длина дуги эквидистанты равняется ее проекции на ось, или, как он выражается, «длина эквидистанты равна длине ее прямолинейного базиса».
Свойства четырехугольника Саккери, относящиеся к абсолютной геометрии.
Свойство 1. Четырехугольник Саккери имеет ось симметрии, проходящую через середины оснований; эта ось является общим перпендикуляром к основаниям. Углы при верхнем основании четырехугольника Саккери равны и не превосходят .
Свойство 2. Пусть в четырехугольнике углы при нижнем основании прямые, а боковые стороны не равны. Тогда из двух углов при верхнем основании больше тот, который лежит против большей стороны. Справедливо и обратное утверждение.
Убежденный в безупречности евклидовой геометрии, Саккери, сам того не сознавая, получил следующие результаты неевклидовой геометрии на плоскости:
1. Если в одном четырехугольнике Саккери угол α острый, то и во всяком четырехугольнике Саккери этот угол острый.
2. Сумма внутренних углов любого четырехугольника меньше 4d.
3. Сумма внутренних углов любого треугольника меньше 2d.
4. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой могут и не пересекаться.
5. Два перпендикуляра к одной и той же прямой, расположенные в одной плоскости, безгранично расходятся один относительно другого.
6. Существуют прямые, которые, взятые по две, в одну сторону безгранично расходятся, а в другую - асимптотически сближаются (как увидим далее, такие прямые Лобачевский назвал параллельными).
7. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и расположенных по одну сторону от нее, на плоскости есть кривая (эквидистанта), имеющая с прямой не более двух общих точек.
В шестом и седьмом предложении Саккери и усмотрел противоречие. О «противоречии» в седьмом предложении было сказано выше. Что касается шестого предложения, то рассуждения Саккери сводились к следующему. Раз существуют две прямые, безгранично расходящиеся друг от друга в одну сторону и асимптотически сближающиеся в другую, то на стороне их асимптотического сближения, по его мнению, в бесконечности найдется точка, общая этим прямым, и в этой точке рассматриваемые прямые будут иметь общий перпендикуляр, что, как полагает Саккери, «противно нашему разуму».
Исследования Ламберта. Намного дальше Саккери и более смело пошел по «дороге открытий» швейцарский ученый-самоучка, сын бедного ремесленника, достигший при жизни большой славы исследователя в области математики, астрономии, геодезии и фотометрии, член Берлинской академии наук Ламберт. Его можно считать непосредственным продолжателем идей Саккери.
Свои исследования Ламберт изложил в работе «Теория параллельных линий», написанной, как полагают, в 1766 г. и опубликованной стараниями Бернулли и Гинденбурга в 1786 г.
Работу Ламберта можно разделить на три части. В первой части автор пытается решить вопрос, можно ли V постулат получить как простое следствие из предшествующих постулатов или же для этого потребуются другие, более очевидные дополнительные постулаты. Во второй части даются различные попытки доказательства V постулата при помощи дополнительных постулатов, которые, являясь эквивалентами, сами должны быть доказаны. В третьей, наиболее интересной части излагаются, по существу, элементы неевклидовой геометрии в том случае, когда наряду с аксиомами абсолютной геометрии имеет место «третья гипотеза». На этой третьей части работы Ламберта и остановимся несколько подробнее.
Рис. 7
В своих рассуждениях Ламберт исходит из четырехугольника ABCD, у которого три угла А, В и С заведомо прямые. Этот четырехугольник принято называть четырехугольником Ламберта. Строится он так. Из концов произвольного отрезка АВ восставляем перпендикуляры. На одном из них берем точку D (рис. 7) и из нее опускаем на другой перпендикуляр DC. Полученный четырехугольник и будет искомым. Углы А, В, С будут прямые по построению. Величину угла D обозначим через α.
Относительно четвертого угла высказываются три гипотезы: этот угол прямой, тупой или острый. Ламберт устанавливает, что гипотеза прямого угла эквивалентна V постулату, гипотеза тупого угла противоречит остальным аксиомам геометрии. Приняв гипотезу острого угла, он развивает на ее основании целую систему далеко идущих следствий, многие из которых противоречат наглядным представлениям о свойствах прямых. Однако Ламберт, как Саккери, ищет логическое противоречие. В отличие от Саккери он не сделал ошибки, в результате которой можно было бы отвергнуть гипотезу острого угла. Напротив, в своем сочинении Ламберт пишет: «Доказательство евклидова постулата может быть доведено столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат». Среди геометров XVIII в. Ламберт ближе всех стоял к верному решению проблемы V постулата.
Он даже высказывает для того времени «еретическую» мысль. «Я почти принужден заключить, - пишет Ламберт, - что третья гипотеза (острого угла) находит себе применение на некоторой мнимой сфере». Эти слова оказались пророческими. Действительно, много позднее Лобачевский показал, что все формулы неевклидовой геометрии получаются из формул сферической тригонометрии, если радиус R основной сферы, на которой строится тригонометрия, заменить мнимым радиусом Ri, где i2 = -1.
Ламберт сформулировал (но не доказал) теорему, что при наличии гипотезы острого угла площадь треугольника ABC пропорциональна его угловому дефекту, причем, под последним он понимал разность между двумя прямыми углами и суммой внутренних углов треугольника, т.е. S = ρ2δ, где S – площадь прямоугольного треугольника, ρ2 – положительный множитель пропорциональности; δ – угловой дефект
δ = 2d – A – B – C.
Так как дефект треугольника не может быть отрицательным, то из полученной формулы Ламберта как следствие вытекает, что площадь треугольника не может возрастать беспредельно. Как бы ни увеличивали мы стороны треугольника, раздвигая его вершины, площадь треугольника всегда будет оставаться меньше некоторой постоянной величины (константы). В геометрии Евклида если увеличить стороны треугольника, то площадь его возрастает беспредельно.
Здесь налицо полная аналогия со сферической геометрией (и тригонометрией), где роль прямых играют дуги больших кругов основной сферы, т.е. тех кругов, центры которых находятся в центре сферы. Как известно, формула площади сферического треугольника ABC имеет вид S = ρ2(-δ)
Если в этой формул радиус сферы ρ заменить через ρ i, то получим формулу Ламберта, справедливую при господстве гипотезы острого угла.
Нас, конечно, не удивляет, что в сферической геометрии площадь сферического треугольника всегда ограничена сверху и не может возрастать беспредельно, она, например, не может стать больше поверхности всего шара, так пусть же нас не удивляет и тот факт, к которому пришел Ламберт, что при наличии гипотезы острого угла площадь треугольника не может возрастать беспредельно и всегда остается меньше некоторой величины.
В своих рассуждениях Ламберт зашел настолько «далеко», что, приняв гипотезу острого угла, пришел к выводу, что должна существовать некоторая длина, характерная для нашего пространства (абсолютная единица длины). Этот результат 60 лет спустя был заново открыт Н. И. Лобачевским.
Исследования Лежандра. Так же как Саккери и Ламберт, Адриен Мари Лежандр (1752-1833, Франция) пытается доказать утверждение V постулата методом от противного. За основу своих рассуждений Лежандр выбирает эквивалентное V постулату утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180°, и рассматривает три гипотезы: сумма углов треугольника больше 180°, равна 180° и меньше 180°. Первая гипотеза отвергается, поскольку противоречит остальным аксиомам геометрии. Вторая гипотеза эквивалентна V постулату. Отвергнуть третью гипотезу Лежандру не удалось.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 5438 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!