переменных и их геометрическая интерпретация

Определение. Частной производной по переменной х от функции

z = f(х, у) называется предел отношения частного прира-

щения функции ∆ _х z по переменной х к приращению ∆ х

при стремлении ∆ х к нулю (если этот предел существует).

Частная производная по х от функции z = f(х, у) обозначается одним из символов: . Тогда по определению:

.

Аналогично частная производная по у от функции z = f(х, у) определяется как предел отношения частного приращения функции ∆ _у z по переменной у к вызвавшему его приращению ∆ у при ∆ у → 0.

Обозначения: .

Таким образом, .

Заметим, что частная производная функции двух переменных определяется, как производная функции одной из переменных при условии постоянства значения другой независимой переменной. Поэтому частные производные функции z = f(х, у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная.

Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Известно, что графиком функции z = f(х, у) является некоторая поверхность (рис. 6). Положив у = у₀, получим функцию z = f(х, у₀), график которой есть линия пересечения поверхности z = f(х, у) с плоскостью у = у₀.

Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной заключаем, что , где α – угол между положительным направлением оси Ох и касательной, проведенной к линии пересечения поверхности z = f(х, у) и плоскости у = у₀ в точке Р₀ (х₀, у₀, z₀).

Аналогично, , где β – угол наклона касательной, проведенной в точке Р₀ (х₀, у₀, z₀) к линии пересечения поверхности

z = f(х, у) и плоскости х = х₀, который она образует с положительным направлением оси Оу (рис. 6).

Рис. 6.

Пример. Найти частные производные функции z = x² · sin(2x-3y).

Решение:

.