Определение ФНП

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем примеры.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у вычисляется по формуле: S = х · у, где S – является функцией двух переменных т.к. каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z определяется по формуле V = x y z.

Здесь V – функция трех переменных x, y, z.

Определение. Функцией n переменных х₁, х₂,…,х_n,

где (х₁, х₂,…,х_n) ÎDÌ Rⁿ будем называть правило или

закон, по которому каждому набору переменных

(х₁, х₂,…,х_n) ÎD ставится в соответстие единственное число

у Î Е Ì R. Тот факт, что задана функция n переменных

будем записывать следующим образом: у = f (х₁, х₂,…,х_n).

Мы будем рассматривать функции двух переменных, т.к. основные факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функции двух переменных, а также для функций двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию.

Определение.Функцией двух переменных х, у будем называть правило

или закон, по которому каждой паре чисел (х, у) Î D

ставится в соответствие единственное число z Î Е.

Тот факт, что задана функция двух переменных, будем записывать в виде: z = f(x, у). При этом х и у будем называть независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество D(z) называется областью определения функции. Множество Е значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения функции.

Функцию двух переменных z = f(х, у ), где (х, у) Î D можно рассматривать как функцию точки М(х, у) координатной плоскости Оху.

Значение функции z = f(х, у ) в точке М₀ (х₀, у₀) называют частным значением функции и обозначают одним из способов:

z(х₀, у₀), , f(х₀, у₀).