Способы задания функции двух переменных

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами.

1) Аналитический способ состоит в том, что функция z представлена с помощью формулы. Если при этом область определения D(z) не указана, то под ней понимают множество таких пар значений (х, у), при которых заданная формула имеет смысл. Областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие

на границе, называются внутренними. Об-

ласть, состоящая только из внутренних точек,

называется открытой, область с присоеди-

ненной к ней границей называется замкнутой

областью. Например, функция

z = ln (4 – х ² – у ²) имеет областью определе-

Рис. 1 ния внутреннюю часть круга х ² + у ² < 4

(открытая область, рис. 1).

2) Табличный способ. В первой строке таблицы выписываются возможные значения переменной х: х ₁, х ₂, …, х _n, в первом столбце – значения переменной у: у ₁, у ₂, …, у _n, на пересечении строки и столбца указывается соответствующее значение функции, например:

z ₁₁ = z(x ₁, y ₁ ), z _ij = z(x_i, y_j) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n).

у / х	х1	х2	×××	xi	×××	xn
y1	z11	z21	×××	zm1	×××	zn1
y2	z12	z22	×××	zm2	×××	zn2
…	…	…	×××	…	×××	×××
уi	z1j	z2j	×××	zij	×××	znj
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
yn	z1n	z2n	×××	zin	×××	znn

3) Графический способ. Примем z за аппликату некоторой точки

P(х, у, z) в пространстве. Всей области D(z) соответствует множество точек Р, образующее в пространстве некоторую поверхность. Графиком функции z = f(х, у) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является поверхность, каждая точка которой - Р(х, у, f(х, у)).

Если поверхность является графиком функции двух переменных, то уравнение, определяющее эту функцию, является уравнением поверхности.

Например, функция имеет областью определения круг х² + у² £ 9 (рис.2) и изображается верхней полусферой с центром в точке О(0, 0, 0) и радиусом R = 3 (рис. 3).

Рис. 2 Рис. 3