Распределение «хи-квадрат»

Пусть имеется несколько нормированных нормально распределенных случайных величин: Х ₁, Х ₂,…, Х_п (a_i = 0, σ_i = 1). Тогда сумма их квадратов

(12.1)

является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1.

Плотность этого распределения

(12.2)

Здесь - гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п!.

Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степе-ней свободы k.

Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.

Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины - длины случайного вектора (Х ₁, Х ₂,…, Х_п), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.