Линейная корреляция

Для двумерной случайной величины (Х, Y) можно ввести так называемое условное математи-ческое ожидание Y при Х = х. Для дискретной случайной величины оно определяется как

(11.7)

для непрерывной случайной величины –

. (11.8)

Определение 11.4. Функцией регрессии Y на Х называется условное математическое ожидание

M (Y / x) = f (x).

Аналогично определяется условное математическое ожидание Х и функция регрессии Х на Y.

Определение 11.5. Если обе функции регрессии Х на Y и Y на Х линейны, то говорят, что Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

При этом графики линейных функций регрессии являются прямыми линиями, причем можно доказать, что эти линии совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии.

Теорема 11.2. Если двумерная случайная величина (Х, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доказательство. Найдем условный закон распределения Y при Х = х , используя формулу двумерной плотности вероятности нормального распределения (11.1) и формулу плотности вероятности Х:

. (11.9)

Сделаем замену . Тогда

= . Полученное распределение является нормальным, а его мате-матическое ожидание есть функция регрессии Y на Х (см. опреде-ление 11.4)). Аналогично можно получить функцию регрессии Х на Y:

.

Обе функции регрессии линейны, поэтому корреляция между Х и Y линейна, что и требовалось доказать. При этом уравнения прямых регрессии имеют вид

, ,

то есть совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии (см. формулы (11.5), (11.6)).