Стандартные законы распределения

1. Биномиальное распределение.

Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6), М (Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х ₁ – число появлений А в первом испытании, Х ₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_i задается рядом распределения вида

Xi
pi	q	p

Следовательно, М (Х_i) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D (X_i) = 0²· q + 1²· p – p ² = p – p ² = p (1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии

2. Закон Пуассона.

Если р (Х = т) = , то М (Х) = (использо-валось разложение в ряд Тейлора функции е^х).

Для определения дисперсии найдем вначале М (Х ²) =

=

Поэтому D (X) = a ² + a – a ² = a.

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).

3. Равномерное распределение.

Для равномерно распределенной на отрезке [ a, b ] непрерывной случайной величины то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [ a, b ].

Дисперсия

.

4. Нормальное распределение.

Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона .

(первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).

.

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответствен-но математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению иссле-дуемой случайной величины.