Друга чудова границя. Наслідки

Теорема 2. Границя послідовності , якщо дорівнює: .

Доведення. Розглянемо послідовність з загальним членом . Якщо прямує до нескінченності маємо невизначеність . Проведемо аналіз поведінки цієї послідовності при . Припустимо, що послідовність монотонно зростає. Дійсно, скористуємся формулою Бінома Ньютона

або

Із зростанням зростає як число додатних доданків (їх у формулі ), так і величина кожного доданку, тобто зростає.

Зробимо оцінку загального члена послідовності .

Отже, маємо суму членів геометричної прогресії з першим членом та знаменником

або

тобто

Таким чином, послідовність монотонно зростає і обмежена. Тобто має границю. Границя числової послідовності існує і дорівнює числу

Отже,

Можна довести, що функція при також має границю, яка дорівнює (будь-яке дійсне число знаходиться між двома натуральними ).

Другою чудовою границею називають

Останню рівність можна записати і в такому вигляді: де , при

Стосовно двох формул, що відповідають другій чудовій границі можна навести такі самі міркування, як і при аналізі першої чудової границі: в ролі та можуть виступати відповідно будь-які нескінченно великі чи нескінченно малі, але структура виразу повинна бути такою, як в наведених формулах.

На практиці як готові формули використовують наслідки з основної теореми:

1. 3. 5.

2. 4. 6.

Приклади. Обчислити границі:

а)

б)

в)

г)

Задача. Початковий внесок в банк складає гр. Банк нараховує щорічно річних, але нараховуються вони раз за рік при щорічному зростанні на . Необхідно знайти величину вкладу, який було накопичено за років.

За формулою складених процентів

Якщо проценти по внеску нараховуються неперервно, то будемо мати:

Формула відображує показниковий (експоненціальний) закон зростання (при ) або спадання (при ). ЇЇ можна використовувати при неперервному нарахуванні відсотків. Ця формула є достатньо ефективною при аналізі складних фінансових проблем, наприклад, при грунтуванні та виборі інвестиційних рішень.