Розкриття невизначеностей

При знаходженні границі функцій необхідно мати на увазі теореми, яким задовольняють функції, що мають границю. На практиці досить широко маємо справу з такими функціями, до яких теореми використати неможливо, якщо не перетворити вираз, границю якого треба обчислити. Такі вирази називають невизначеністями. Розглянемо ряд невизначень різного типу.

1. Невизначеність типу , якщо треба знайти границю відношення двох многочленів, коли аргумент прямує до нескінченності:

Для обчислення границі потрібно чисельник та знаменник дробу поділити на найвищу степінь а потім обчислити границю.

Приклади. Обчислити границю:

а)

б)

У цьому прикладі перша степінь змінної є найвища, тому чисельник та знаменник поділили на і обчислили границю.

2. Невизначеність виду Розглянемо границю частки двох функцій: коли і прямують до 0 одночасно. Тобто є коренем чисельника та знаменника. У випадку, якщо і многочлени, їх можливо за теоремою Безу розкласти на множники, один з яких а потім скоротити дріб на .

Приклад. Обчислити границю.

Щоб виділити в чисельнику і знаменнику множник треба поділили «сходинками» чисельник і знаменник на .

Подібним чином, тобто вилученням множника розкривають невизначеності і тоді, коли чисельник і знаменник (або) містять кореневі ірраціональності. Найбільше поширена при цьому операція – помноження чисельника і знаменника дробу на вираз, спряжений тому чи іншому (або і тому, і іншому, в залежності від операції), з метою позбутися початкової ірраціональності, щоб одержати множник .

Приклад. Обчислити границю

3. Невизначеності типу Невизначеності цього виду за допомогою перетворень потрібно привести до невизначень або

Приклади. Обчислити границі

а) .

б)

В цьому прикладі, якщо прямує до невизначеності не маємо:

як сума двох нескінченно великих змінних.