Перша чудова границя. Наслідки

Теорема 1. Границя відношення синуса нескінченно малого аргументу до цього аргументу дорівнює одиниці, тобто

.

Рис.7.1.

Доведення. Щоб довести теорему розглянемо коло радіусу 1 з центром у точці (рис.7.1) і нехай Порівняємо площини трикутника , сектору , трикутника З геометричних міркувань очевидно, що Отже, або або звідси, Зауважемо, що дані нерівності виконуються і для тому що функції і парні. Переходячи до границі, будемо мати Тоді за ознакою існування границі проміжної функції

Для застосування цієї теореми треба відзначити, що в ролі аргументу під знаком синуса, може виступати складний аргумент– функція незалежної змінної, але структура виразу повинна бути саме такою, як в наведеній теоремі. Тобто якщо і коли аргумент прямує до

На практиці, як готові формули, використовують наслідки з теоремиЖ

1. ; 3. 5.

2. 4. 6.

Приклади. Обчислити границі

а)

б)

в)

г)

де

д)