Алгебра множеств. Осн. тождества алгеб. множеств

Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств. Например, Ç (В È C), (А \ В) + C – формулы алгебры множеств.

Двойное дополнение. = A.

Закон исключенного третьего. A È = U.

№6. Операции с пустым и универсальным множествами.

а) A È U = U; б) A È Æ = A; в) A Ç U = A; г) A Ç Æ = Æ; д) = U; е) = Æ.

№7. Эквивалентность множеств

Определение. Если каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B и при этом всякий элемент множества B оказывается сопоставленным одному и только одному элементу множества A, то говорят, что между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие. Множества A и B в этом случае называют эквивалентными или равномощными.

Эквивалентность множеств обозначается следующим образом: A ~ B.

Эквивалентность множеств обладает следующим свойством транзитивности.

Если A ~ B и B ~ C, то A ~ C.

№8. Мощностью конечного множества А (обозначается ç А ç) называется число элементов этого множества. Например, мощность множества А = {1, 2} равна ç А ç= 2.

ç А È B ç= ç А ç+ ç B ç– ç А Ç B/; ç А È B È С ç= ç А ç+ ç B ç+ ç C ç– ç А Ç B ç– ç А Ç C ç– ç B Ç C ç+ ç А Ç B Ç C ç

Если множества А_i попарно не пересекаются, т.е. А_i Ç А_j = Æ, i ¹ j, то получим частный случай формулы:

ç А ₁È А ₂ È…È А_n ç= ç А ₁ç+ç А ₂ç+…+ ç А_n ç.

№9. Счетные множества

Определение Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным. Можно сказать также, что множество счетно, если его элементы можно перенумеровать.

Следующие множества являются счетными: 1. A ₁ = {–1, –2, …, – n, …}; 2. A ₂ = {2, 2², …, 2 ⁿ,…};

Чтобы установить счетность некоторого множества, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и множества натуральных чисел.

Теорема 1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

Теорема 3. Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно.

Теорема 4. Если А = { a ₁, a ₂, …} и B = { b ₁, b ₂, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(a_k, b_n), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно.

Теорема 5. Множество всех многочленов P (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x² + … + a_nxⁿ любых степеней с рациональными коэффициентами a ₀, a ₁, a ₂, … a_n счетно.

Теорема 6. Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

№10. Множества мощности континуума

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума. Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума. Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n- мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теореа 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [ a, b ] имеет мощность континуума.