Вопрос. Классы эквивалентности

Пусть r – отношение эквивалентности на множестве X и x Î X. Классом эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов y Î X, для которых xry. Класс эквивалентности, порожденный элементом x, обозначается через [ x ].

Таким образом, [ x ] = { y Î X | xry }.

Классы эквивалентности образуют разбиение множества X, т. е. систему непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых совпадает со всем множеством X.

Пример

а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [ x ] = { x }, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.

б) Класс эквивалентности, порожденный парой < x, y > определяется соотношением:

[< x, y >] = .

Каждый класс эквивалентности, порожденный парой < x, y >, определяет одно рациональное число.

в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

20.1. Свойство отношения Антисимметричность
Отношение r называется антисимметричным на множестве X, если для любых x, y Î X из xry и yr x следует x = y.

Из определения антисимметричности следует, что всякий раз, когда пара < x, y > принадлежит одновременно r и r^{– 1}, должно выполняться равенство x = y. Другими словами, r Ç r^{– 1} состоит только из пар вида < x, x >.

Пример

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r антисимметрично.

Отношение s = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>} неантисимметрично. Например, <1, 2> Î s, и <2, 1> Î s, но 1 ¹2.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение антисимметрично, т.к. если x £ y, и y £ x, то x = y.