Основные тождества алгебры множеств

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения

1. Коммутативность объединения	1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения	2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения	3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами	4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения	5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана	6’. Закон де Моргана
7. Закон поглощения	7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания	8’. Закон склеивания
9. Закон Порецкого	9’. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения

Законы де Мо́ргана (правила де Мо́ргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания.

Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:

not (P and Q) = (not P) or (not Q)

not (P or Q) = (not P) and (not Q)

Обычная запись этих законов в формальной логике:

или

в теории множеств:

или:

Если существует операция логического умножения двух и более элементов, операция «и» — (A&B), то для того, чтобы найти обратное от всего суждения ~(A&B), необходимо найти обратное от каждого элемента и объединить их операцией логического сложения, операцией «или» — (~A + ~B). Закон работает аналогично в обратном направлении: ~(A+B) = (~A & ~B)

Термин идемпотентность означает свойство математического объекта, которое проявляется в том, что повторное действие над объектом не изменяет его

59) При кибернетическом моделировании, которое можно определить как математическое моделирование процесса управления, признаком подобия служат одинаковые функции на входах и выходах системы управления.

Кибернетическое моделирование существенно расширяет границы исследуемости сложных объектов. Из-за экономических соображений возникает граница применимости физического моделирования. Чисто математические трудности в описании поведения объекта образуют еще одну границу. Ограничения же в применимости кибернетического моделирования возникают пока в основном из-за неразвитости теории. Однако традиционные методы исследования (физическое и математическое моделирование) в совокупности с кибернетическим моделированием позволяют создать достаточно высокое разнообразие выводов о поведении и структуре объектов. Легко понять, какой из названных видов моделирования будет определять дальнейший прогресс, если учесть, что традиционные методы исследования находятся в стадии завершения, в то время как кибернетическое моделирование лишь оформляется как самостоятельная область системных исследований.

60 методы количественной оценки систем:

•методы теории полезности;

•методы векторной оптимизации;

•методы ситуационного управления, инженерии знаний.

^ Методы теории полезности основаны на аксиоматическом использовании отношения предпочтения множества векторных оценок систем.

Методы векторной оптимизации базируются на эвристическом использовании понятия векторного критерия качества систем (многокритериальные задачи) и включают методы главного критерия, лексикографической оптимизации, последовательных уступок, скаляризации, человеко-машинные и другие методы. При решении задач векторной оптимизации векторный (многокомпонентный) критерий эффективности, выраженный через показатели исходов операции, заменяют скалярным на основе какой-либо функции свертки.

^ Методы ситуационного управления, инженерии знаний основаны на построении семиотических моделей оценки систем. В таких моделях система предпочтений ЛПР формализуется в виде набора логических правил, по которым может быть осуществлен выбор альтернатив. При этом понятие векторного критерия в явном виде не используется.