Векторы, операции над ними

Вектором называется направленный отрезок. Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением. Также вектор можно задать указав его начало и конец. Векторы обозначают следующим образом: AB,`a.

Вектор начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Векторы ` а и `в называются коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы ` а и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Если вектор задан началом А(х₁,у₁) и концом В(х₂;у₂), то координаты вектора АВ можно определить так АВ

Длина вектора АВ определяется как расстояние между двумя точками:

(1)

Пусть задана ось l и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось l называется величина А¢В¢ на оси l. Проекция вектора АВ на ось l равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью l, т.е.

Пр_и (2)

Направляющими косинусами вектора ` а называются косинусы углов между вектором ` а и осями координат. Направляющие косинусы вектора `а можно определить по формулам

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.

Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

,

разность векторов

,

умножение вектора на число l

.

Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

(4)

Если векторы и заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле

(5)

Свойства скалярного произведения векторов:

. (переместительное свойство)

.

.

.

. , если

Следствие. Угол между векторами и определяется по формуле

(6)

или

(7)

Сформируем условия параллельности и перпендикулярности двух векторов и

1. Векторы и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно , то есть

(8)

или

(9)

2. Векторы и параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны

(10)

Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор c, который:

1. перпендикулярен векторам и ;
2. имеет длину , - угол между векторами и ;
3. с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

Обозначается

Геометрический смысл векторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Если , тогда .