Основные свойства z-преобразования

Так как z-преобразование от х[lТ] можно рассматривать как частный случай модифицированного z-преобразования при , то рассмотрим свойства модифицированного я-преобразования. Доказательства приводятся в конце, после рассмотрения всех свойств.

1°. Линейность. Модифицированное z-преобразование от линейной комбинации дискретных функций равно линейной комбинации их модифицированных z-преобразований:

12.1.18

Здесь a_i (i = 1, 2,..., п) — константы.

2°. Теорема запаздывания. Модифицированное z-преобразование от функции с запаздывающим аргументом х[(l — т)Т] определяется следующим образом:

. (12.1.19)

3°. Теорема опережения. Модифицированное z-преобразование от функции с опережающим аргументом x[(l + т )Т] определяется следующим образом:

Если (начальные условия нулевые), то

. (12.1.20)

4°. Умножение оригинала на . z-преобразование от произведения определяется следующим образом:

. (12.1.21)

При имеем

(12.1.22)

Пользуясь полученным свойством, найдем обычное и модифицированное z-изображения функции .

Модифицированное z-изображение для единичной функции (см. формулу (12.1.23)) имеет вид

Поэтому если в (12.1.21) положим , то получим (12.1.23)

Отсюда при имеем

(12.1.24)

5°. Умножение оригинала на . z-преобразование от про­изведения определяется следующим образом:

. (12.1.25)

При имеем

. (12.1.26)

Найдем обычное и модифицированное z-изображения функции . Положив в (12.1.25) и а = е, получим

При имеем

(12.1.26)

6°. Теорема о свертке. Произведение изображений и равно z-преобразованию от свертки их оригиналов и :

(12.1.27)

При имеем

. (12.1.28)

'

7°. Теоремы о граничных значениях. Начальное значение решетчатой функции х[lТ] по ее обычному и модифицированному z-изображению определяется следующим образом:

. (12.1.29)

Предел при условии, что он существует, определяется следующим образом:

. (12.1.30)

z-изображения основных функций

В табл. 12.1.1 и табл. 12.1.2 представлены соответственно обычные и модифицированные я-изображения основных решетчатых функций. Как отмечалось, решетчатая функция х[lТ] получается путем квантования (дискретизации) по времени непрерывной функции x(t). В дальнейшем потребуется вычислять z-изображение решетчатой функции по известному изображению Лапласа X(s) непрерывной функции x(t). И при этом чтобы избежать этапов вычисления x(t) путем обратного преобразования Лапласа и дискретизации, в указанных таблицах в первом столбце приведены изображения Лапласа соответствующих непрерывных функций.

Рассмотрим вывод формул, приведенных в табл. 12.1.1 и табл. 12.1.2. И так как формулы для обычных z-изображений получаются из формул для модифицированных z-изображений при l= 0, ограничимся выводом формул, приведенных в табл. 12.1.2.

Таблица 12.1.1. z-изображения

Таблица 12.1.2. Модифицированные z-изображения