Линейные разностные уравнения

Линейные дискретные системы описываются линейными разност­ными уравнениями. Поэтому кратко рассмотрим теорию таких уравнений.

Пусть дана дискретная функция, т.е. функция x(t), у которой аргумент принимает дискретные значения, кратные Т: t = пТ, п = = 0,1,2,...

Функция , определяемая формулой

называется первой (конечной) разностью. Рекуррентно п -я (конечная) разность определяется следующим образом:

Введем в рассмотрение оператор смещения Е, который определяется соотношением

Ex(t) = x(t + T).

Используя этот оператор, конечные разности можно представить следующим образом:

По формуле бинома Ньютона имеем

Поэтому

(12.1.8)

Уравнение

,(12.1.9)

где y(t) — неизвестная дискретная функция, называется (конечным) разностным уравнением п-го порядка. Используя формулу (12.1.8), уравнение (12.1.9) всегда можно преобразовать к виду

.(12.1.10)

Если и , то уравнение (12.1.10) также называют (конечным) разностным уравнениемп-го порядка.

Здесь всюду коэффициенты уравнения предполагаются вещественными и постоянными.

Уравнение

, (12.1.11)

которое получается из уравнения (12.1.10) приравниванием нулю правой части, называется однородным (конечным) разностным уравнением, соответствующим неоднородному разностному уравнению (12.1.10).

Используя оператор смещения Е, уравнение (12.1.10) можно записать в операторной (символической) форме

,

или

. (12.1.12)

Соответствующее однородное уравнение в операторной форме принимает вид

. (12.1.13)

Общее решение неоднородного разностного уравнения (12.1.10) имеет вид

y(t)=y_B(t)+y_c(t), где y_B(t) — частное решение этого уравнения, определяющее вынужденное движение, и y_c(t) — общее решение соответствующего однородного уравнения (12.1.11), определяющее свободное движение.

Решение однородного уравнения ищется в виде . Подставив это выражение в (12.1.11), получим

.

Это равенство будет выполнено тождественно относительно t, если

.

Положив , получим алгебраическое уравнение

, (12.1.14)

которое называется характеристическим уравнением. Левая часть этого уравнения получается из разностного оператора при неизвестной функции в уравнениях (12.1.12) и (12.1.13) при замене Е на z.

Таким образом, решением однородного разностного уравнения (12.1.11) будет

,

где — корень характеристического уравнения (12.1.14).

Если все корни характеристического уравнения простые (т. е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения (12.1.11) имеет вид

, (12.1.15)

где C_i — произвольные постоянные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень Zj кратности kj, то ему в (12.1.15) соответствует слагаемое

. (12.1.16)

Если имеются простые комплексно-сопряженные корни , то соответствующие им два слагаемых можно заменить на

где , А, В — произвольные константы.