Определение z-преобразования

z-преобразованием, или преобразованием Лорана, называется соотношение

(12.1.17)

ставящее в соответствие дискретной функции х[1Т] функцию комплексного переменного X*(z). При этом х[1Т] называют оригиналом, a X*(z) — изображением или z-изображением. Оригинал и его изображение обозначают одноименными буквами: оригинал — строчной буквой, а изображение — прописной буквой со звездочкой.

z-преобразование также условно записывают в виде

X*(z) = Z{x[lT]},

а обратное z-преобразование — в виде

x[1Т] = Z^-1{X*(z)}.

Предполагается, что в z-преобразовании (12.1.17) дискретная функция обладает следующими свойствами:

1) существуют положительные числа М и q такие, что при любых ;

2) х[lТ] = 0 при всех l < 0.

Свойство 1) необходимо для существования области сходимости ряда в правой части (12.1.17), а свойство 2) используется при выводе некоторых свойств z-преобразования. Функции, удовлетворяющие указанным двум свойствам, называют функциями-оригиналами.

z-преобразование от смещенной решетчатой функции , т.е. соотношение

называют модифицированным z-преобразованием. Модифицированное z-преобразование также записывают в виде

Функцию называют z-изображением смещенной решетчатой функции или модифицированным z-изображением решетчатой функции х[lТ].

Пример 12.1.1. Определить z-изображение единичной решетчатой функции х[lТ] = 1 [IT] и смещенной решетчатой функции .

Решение. Так как при всех , то

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем

.