Непрерывная модель дискретной системы

Пусть дискретная система состоит из дискретного элемента (ДЭ) и непрерывной части (НЧ) (рис. 12.2.1, а). Дискретный элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с периодом Т, относительной длительностью и амплитудой А_И = 1. Тогда передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид

,

где W_H(s) — передаточная функция непрерывной части.

Рис. 12.2.1. Дискретная система (а) и ее непрерывная модель (б)

Учитывая, что W_п(s) есть изображение Лапласа весовой функции ПНЧ , а передаточная функция в z-изображениях разомкнутой дискретной системы — D-изображение , согласно формуле (12.1.34) имеем

.

Положив для частотной передаточной функции разомкнутой дискретной системы получаем

(12.2.1)

Как отмечалось выше, частотная передаточная функция является периодической функцией с периодом , и при построении частотных характеристик достаточно ограничиться интервалом . И если выполняется условие(12.2.2)

(12.2.2)

то в формуле (12.2.1) справа можно ограничиться одним слагаемым, соответствующим l= 0. Остальные члены при указанном условии не будут оказывать существенного влияния на частотную характеристику. Поэтому при условии (12.2.2) можем принять

,

и исходную дискретную систему можно представить непрерывной моделью (рис. 12.2.1, б). При малых

и передаточная функция разомкнутой системы непрерывной модели имеет вид или, когда относительная длительность ,

(12.2.3)

Таким образом, дискретизация по времени соответствует введению чистого запаздывания на полпериода. При малых Т наличие дискретного элемента не учитывают и принимают

(12.2.4)

Однако следует иметь в виду, что непрерывная модель, основанная на последнем соотношении, может приводить к неправильным выводам.

Например, когда непрерывная часть представляет собой апериодическое или колебательное звено, замкнутая система получается устойчивой при любом передаточном коэффициенте, если исходить из соотношения (12.2.4). Однако в действительности из-за того, что дискретный элемент вносит запаздывание, существует максимальное значение передаточного коэффициента, выше которого замкнутая система будет неустойчивой.