Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Простейшая задача: стержень без поперечного сечения, но с массой. Распространение тепла идет вдоль стержня в момент времени. Возникает тепловой поток
k(x)- коэффициент теплопроводности,
u- температура
q(x)- коэффициент теплообмена с окружающей средой
, - плотность источников тепла.
Проинтегрируем на
- уравнение теплового баланса.
- средняя величина
заменим u(x) интерполяционным многочленом 0-ой степени, т.е константой
Для потока рассмотрим формулу: . Проинтегрируем эти выражения
, где
В итоге , где ,
Для решения этой разностной схемы используется метод прогонки с коэффициентами
1. метод неопределенных коэффициентов
2. конечно-разностный метод
3. метод баланса
14. Пример. Методом баланса построить консервативную разностную схему с h=0.1 для краевой задачи
.
Решение:
, (в обозначениях из теории)
15.
Привести постановку линейной и нелинейной краевой задачи для ОДУ 2 порядка. Провести построение метода сведение к решению задачи Коши (метод пристрелки).
Дана линейная краевая задача:
(6)
Могут быть также кр. Усл. 1-го и 2-го рода:1) ; , но случай с усл. 3-го рода – общий.
Для применения метода пристрелки, сделаем замену переменных:
В результате получим систему вида:
(7)
Общее решение системы ОДУ в (7) представим.
(x)
(2)
Для применения метода Руне-Кутты, соответствующие задачи Кошипредставим в виде задач для системы ОДУ первого порядка:
Неоднородной:
Для однородной задачи r(x)=α= получим:
(9)
Чтобы (2)было решением (6) выберем с из краевого условия для точки x=b в (6). По найденному получим
(10)
Решение исходной краевой задачи находим, подставляя
Пример: решить методом пристрелки: y’’+98.1siny=0, y’(0)=0, y (1)= .
Делаем замену . Краевые условия запишем в виде:
. Тогда нам нужно решить две задачи Коши:
неоднородная задача:
однородная:
Замечание: уравнения однородны и в первом и во втором случаях, разл. только нач. усл.
Решение будем произв, например, методом Р.-К. 4-го порядка точности:
Представив системы в векторном виде применяем формулы метода Р.-К.
,
После тог, как алгоритм Р.-К. отработал мы получим . Тогда . И, наконец,
16. Дано ЛИУФ-2. Провести построение численного метода квадратур приближенного решения. В чем состоит интерполирование по ядру?
Пример: Используя квадратурную формулу трапеций, построить алг метода квадратур для решения с точностью интегрального уравнения
Числ мет реш ИУ: К ЛИУ относится ур-е Фредгольма 2 рода Ур-е им ед решенеие в том случае, если не является СЗ ядра К. а,b, , f(x), u(x) – входные данные
- если есть реш ≠ 0, то пар-ры явл СЗ ядра
Метод квадратур:
Числ метод прибл реш ИУФ, ИУВ основан на замене интеграла формулами числ интегрирования
,
– погрешность числ интегрирования. Коэфф с образуется из величин, зависящих от шага (коэф кв формулы), S- узлы кв формулы.
Распростран. явл.формулы Ньютона-Котеса(где h=const), к ним относятся ф-лы:
1.средн. прямоугол, кот им вид , коэф =h, h=(b-a)/n,
2. Ф-ла трапеций: , где
3.Ф-ла Симпсона:
, , если lim и не зависит от способа разбиения отрезка, то этот интеграл определенный.
Построение метода квадратур: Рассмотрим . Для построения дискр модели предполагаем, что нам изв точное решение ИУ: u*(x), тогда для него запишем: u*(x)- =f(x)+ (, k, c, u*), F(x)=k(x.S)u(s)
Отбрасываем погрешность: (x)- *=f(x)
Получим линейные (сеточные) ур-я:
Каждое из них завясит от шага, как от пар-ра (шаг зависит от разбиения) => получили семейство сеточных ур-й (сеточная схема).
≈ u*()-прибл к точному решению.
Получили СЛАУ, кот можно решить методом Гаусса. Запишем в векторном виде:
Тогда для разрешимости ур-я предполагаем, что СЗ А не совп. с СЗ ядра К, т.е. (*)
Интерполирование по ядру: Воспользуемся (*) Для построения алг: . Строим: . Сначала получаем
, затем по ним получаем . Если взять и рассматривать как узлы интерполяции, то получим интерпол мнг (т.е значение ф-ии в узлах интерполяции совпадает со значением интерпол мнг)
Сеточное ур-е приближается к ЛИУФ-2, т.е имеет место устойчивость и аппроксимация.
Дата публикования: 2014-12-25; Прочитано: 1566 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!