Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Виробник не несе ніякої відповідальності у разі недотримання користувачем вищевикладені рекомендацій або при неналежному використанні телефону і його аксесуарів.
Якщо дана інструкція не відповідає Вашому телефону - зверніться до продавця або в сервісний центр.
Компанія має право вносити зміни до цих інструкції і конструкцію телефону без попереднього повідомлення.
Дать определение погрешности решения, погрешности аппроксимации, аппроксимации и сходимости разностной схемы. Провести исследование аппроксимации и сходимости явной и неявной разностной схемы метода Эйлера.
Пример. Аппроксимирует ли разностная схема
Задачу Коши (ЗК) . С каким порядком?
Общий случай: - разностная схема, L(u)=0 – непр. задача, y – точное решение разностной схемы, u – точное решение ЗК.
Величина наз погрешностью аппроксимации разностной схемы исх задачи. (Смысл опр: хотим определить, насколько дискретная модель отличается от исходной)
Погр аппрокс разностной исх зад на точном решении равна невязке.
Математическое понятие аппроксимации: Разностная схема аппроксимирует исходную задачу, если , аппроксимация порядка P, если (т.е при бесконечном дроблении сетки арг )
Для метода Эйлера p=1
Уст разностной схемы
Запишем
Разностная схема устойчива, если , не зависящие от h и выбора u_0 и f, что им место нер-во а) если , а , то имеет место ; б) , то имеет место уст по правой части
Если шаг то – уст по начальным данным.
Если шаг (), то условная устойчивость.
Всё сказанное справедливо и для систем ДУ, только вместо абс вел-ны ставим норму.
Сходимость разностных схем и погрешность.
Теорема: Пусть исх зад z(u)=0 пост корр-но и разн схема аппроксимирует разн схему с пар-ом , h → 0. И пусть разн сх уст, тогда разн сх сх-ся, т.е h → 0. Причем сх-ся с порядком = погрешности аппрокс-ии
Док-во: подставим в разн сх метода Эйлера:
Из усл. устойч.: и на основании леммы (из уст. по нач. данным след. уст. по пр. части) и (*) . С другой стороны р.сх. также аппрокс. решение, т.е. с порядком р . (В случае разн. сх. Эйлера р=1).
Замечание: 1. Из сходимости разн сх => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответствующим дроблением сетки аргумента; 2. Из полученной оценки погрешности (*) =>что порядок погрешности носит суммарный или глобальный характер. Поэтому будем рассматривать как глобальную погрешность.
Разн сх является корректно заданной, если она аппрокс уст и сх-ся. Разн сх Эйлера условно уст (шаг выбирают из условия – оценка правой части). Нужно выбирать маленький шаг, чтобы если функция решения сильно изменится, не изменилась правая часть на большую величину.
Пример: да аппроксимирует с порядком p=1. (т.к. это р.сх. Эйлера, а для нее доказано, что погрешность аппроксимации ).
Определить локальную и глобальную погрешность решения задачи Коши разностным методом. Провести построение метода Рунге получения апостериорной погрешности решения. Как используется метод Рунге для автоматического выбора шага сетки аргумента.
Сходимость разностных схем и погрешность.
Теорема: Пусть исх зад L(u)=0 пост корр-но и разн схема аппроксимирует разн схему с пар-ом , h → 0. И пусть разн сх уст, тогда разн сх сх-ся, т.е h → 0. Причем сх-ся с порядком = погрешности аппрокс-ии
Док-во: подставим в разн сх метода Эйлера:
Нашли, что усл устойчиво: и на основании леммы, что правая часть уст (*)
из условия теоремы об устойчивости: т.к аппрокспорядка р, то , в случае разн сх Эйлера р=1.
Замечание: 1. Из сходимости разн сх => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответствующим дроблением сетки аргумента; 2. Из полученной оценки погрешности (*) =>что порядок погрешности носит суммарный или глобальный характер. Поэтому будем рассматривать как глобальную погрешность.
Разн сх является корректно заданной, если она аппрокс уст и сх-ся. Разн сх Эйлера условно уст (шаг выбирают из условия – оценка правой части). Нужно выбирать маленький шаг, чтобы если функция решения сильно изменится, не изменилась правая часть на большую величину.
Построение разностной схемы с переменным шагом h.
Введём понятие локальной погрешности.
Опр. Погрешность локальная (на шаге) определяется так:
- получение конечного решения разностной схемы с точным начальным условием.
Для м. Эйлера:
Проведём исследование локальной погрешности в виде порядка малости шага h.
Пусть
Представим локальную погрешность используя формулу Тейлора (на шаге):
Обобщим для метода порядка
Опр. называется главным членом локальной погрешности. называется избыточной гладкостью решения (т.к для оценки погрешности нужно брать степеней , а тут ).
Правило или метод Рунге.
На отрезке длиной h с н.у.
Чтобы исп. формулы для получения практического решения нужно из оценки исключить неизвестную величину .
Из 2 вычитаем 1:
- мы м. получить её реально при вычислениях и оценить локальную погрешность.
На основании этого строится схема вычисления локальной погрешности на каждом шаге, если задана точность и после вычисления величин окажется, что , тогда применим автоматический выбор шага.
Автоматический выбор шага.
Используется для получения заданной точности решения в каждой точке аргумента.
Это адаптивная (самонастраиваемая) процедура.
Если
При каких-то .
Получим и решение дальше, но функция меняется и шаг может быть не экономичен, тогда мы удваиваем шаг. И если получаем, что
не изменяем.
Пример. Привести алгоритм автоматического выбора шага аргумента при решении методом Эйлера задачи Коши
Запишем разностную схему:
. Пусть
Тогда согласно методу Рунге считаем на каждой итерации один раз с шагом h и два раза с шагом h/2. Затем берем разность полученных значений как оценку погрешности (надо делить на – для метода Эйлера p=1, т.е. делить не нужно). Примерный алгоритм автоматического выбора шага:
1) ;
2) .
. Если то и повторяем шаг. Если , то и переходим к следующей итерации. В противном случае переходим на следующую итерацию, не меняя шаг.
.
3) . .
.......................................................
И продолжаем цикл до тех пор, пока не найдем значения в точке 7 (пока ).
Провести построение разностной схемы Рунге-Кутта с погрешностью аппроксимации 2-го порядка точности.
Пример. Построить такую разностную схему с точностью аппроксимации 10-3 для задачи
Ответ:
Рассмотрим задачу Коши для ДУ:
Интегрируем уравнение на очень малом шаге :
По формуле левых прямоугольников:
Если то получим:
Можно использовать: .
Тогда замена будет
В этом случае надо решать нелинейное уравнение для нахождения . Это нелинейное уравнение – решать методом Ньютона (например) эта формула неэкономична.
Тогда будем решать:
– формула одношаговая, т.к. для нахождения последующего значения нужно знать одно предыдущее; формула явная (т.к. нет нелинейных уравнений) и здесь - выбираются таким образом, чтобы совокупность этих формул давала погрешность аппроксимации 2-го порядка малости по h и чтобы разн. схема сходилась по h и была устойчивой.
Найдем . Заметим, что .
Разностную схему представим в следующем виде:
Вспомним, что погрешность аппроксимации = невязке разностной схемы на точном решении:
Стандартный прием – разложение в ряд всех точных решений, встреч. в этой записи.
Пусть . Тогда :
а) -ограниченные величины, поэтому порядок малости .
б) представим по формуле Тейлора
Подставим а), б) в выражение погрешности аппроксимации:
1) , тогда погрешность аппроксимации будет второго порядка малости
– формула Рунге-Кутта 2-го порядка. Она 2-х этапная, одношаговая, явная:
Данная формула также называется «предиктор-корректор».
2)
–формула Рунге-Кутта, одношаговая, явная 2-х этапная.
Итак, теперь , а из того, что следует, что и разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком h.
Пример. Построим такую разностную схему с точностью аппроксимации 10-3 для задачи
Так как , то .
В нашем случае .
Дата публикования: 2014-12-25; Прочитано: 561 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!