Построение разностной схемы. ОДУ 2-го порядка

Рассмотрим ДУ

С краевыми условиями -краевая задача 1 рода

-краевая задача 2 рода

-краевая задача 3 рода

Эти краевые задачи имеют единственное решение, когда . Тогда . При таких условиях краевая задача корректно поставлена. Построим дискретную модель:

В зависимости от требований точности, от порядка точности метода, от условия устойчивости, выбираем .

1. -число разбиений. -число точек сеточного аргумента(т.е.длины массивов для сеточных функций в этой задаче) -число внутренних точек, в которой ищется решение. В результате построим равномерную сетку аргумента.

2.Ддля простоты точно заданы .

3.Линейный дифференциальный оператор заменяем разностным. Для получения разностных отношений в виде дискретных представим решение в виде 2-ух разложений по формуле Тейлора:

Из такого разложения получаем:

В итоге получим разностный оператор в виде:

4.Разностная схема это совокупность конечно разностных уравнений и условий.

Приведем эту разностную схему к удобному виду для исследования устойчивости.

Пример.

Где -погрешность.