Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим систему линейных уравнений с n-неизвестными
а11*х1+а12*х2+….+а1n*хn=b1
а21*х1+а22*х2+….+а2n*хn=b2
…………………………………………… (1)
аm1*х1+аm2*х2+….+аmn*хn=bm
Основной матрицей данной системы является матрица
а11 а12..… а1n.
а21 а22 …. а2n
A = ………………
аm1 аm2 …...аmn
Матрица, которая получается из основной матрицы посредством добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:
а11 а12 …… а1n b1
а21 а22 …... а2n b2
A = ……….…………..
аm1 аm2 …...аmn bm
Систему (1) можно записать в виде: A*X=B, где:
x1 b1
x2 b2
X= … B = …
xn bm
Определение: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:
1. Умножение любого уравнения системы на число отличное от нуля.
2. Прибавление к одному из уравнений системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число отличное от нуля.
3. Перестановка местами 2-х уравнений.
При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений те же преобразования производятся над расширенной матрицей системы.
Определение: Эквивалентными системами линейных уравнений называются системы, которые получаются одна из другой посредством элементарных преобразований.
Определение: Минором матрицы называется определитель, образованный элементами этой матрицы, который получается из данной матрицы посредством выделения определенного равного числа строк и столбцов. Порядком минора называется порядок определителя (число строк определителя).
Примеры: 1 2 3 1 2
A = 2 8 9 M2 = 4 5 - минор 2-го порядка.
4 5 7
M1 = 1 - минор 1-го порядка.
Определение: Рангом матрицы называется наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. r(A) – ранг матрицы
Пример: 1 2 3
A = 4 5 6 определим ранг:
2 4 6
1 2 3 1 2
M3= 4 5 6 =0 M2= 4 5 =1*5-4*2=-3
2 4 6
т.о. r(A)=2 - ранг матрицы равен 2
Определение: Базисным минором матрицы называется любой ее минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы.
Теорема: При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.
Определение: Ступенчатой матрицей называется матрица, которая имеет ступеньку из 0 (нулей), удовлетворяющую определенным свойствам (см. пример).
Примеры:
1 2 3
С = 0 1 4 - ступенчатая матрица r(C)=3
0 0 5
1 2 4 5
D = 0 0 1 2 - ступенчатая матрица r(D)=3
0 0 0 4
Теорема: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема: Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатой.
Пример:
1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2
А = 2 0 1 3 ~ 0 -6 -1 -1 ~ 0 -6 -1 -1
3 3 2 4 0 -6 -1 -2 0 0 0 -1
При первом преобразовании:
- каждый элемент второй строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-2)
- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3)
При втором преобразовании:
- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом второй строки умноженным на (-1)
Теорема (критерий совместности Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна (имеет решения) тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
r(A)=r(A)
Следствие: Если ранги не равны, то системы соответственно не имеют решений.
Теорема (критерий определенности): Совместная система линейных уравнений будет определенной, если ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных переменных.
Следствие: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. она неопределенная система.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 247 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!