Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера



Рассмотрим систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.

а111122133=b1

а211222233=b2

а311322333=b3

Введем обозначения: за определитель D обозначим определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных. В определителях D1, D2, D3 соответствующий столбец коэффициентов заменен столбцом свободных членов уравнений:

а11 а12 а13 b1 а12 а13

D= а21 а22 а23, D1= b2 а22 а23,

а31 а32 а33 b3 а32 а33

 
 


а11 b1 а13 а11 а12 b1

D2= а21 b2 а23, D3= а21 а22 b2

а31 b3 а33 а31 а32 b3

Теорема: если определитель D отличен от 0, то данная система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

X1= D1/D X2= D2/D X3= D3/D - формулы Крамера.

Доказательство:

Умножим первое уравнение данной системы на А11, второе – на А21, третье – на А31 и все сложим. Получим следующее равенство:

(a11*A11 + a21* A21+ a31* A31 )*X1 + (a12 * A11+ a22* A21 + a32* A31) * X2 +

+ (a13*A11 + a23* A21 + a33* A31)*X3 = (b1*A11 +b2*A21 + b3*A31 ) = D1

поскольку: (a11*A11 + a21* A21+ a31* A31 ) = D

(a12 * A11+ a22* A21 + a32* A31) = 0

(a13*A11 + a23* A21 + a33* A31) = 0

D *X1 = D1 и X1 = D1 / D

Аналогично получим:

D *X2 = D2 и X2 = D2 / D, если домножим на A12; A22; A32.

D *X3 = D3 и X3 = D3 / D, если домножим на A13; A23; A33.

Верность решения доказана.

Пример:

x+ 2*y + z = 4 1 2 1

3* х - 5*y+3*z = 1; D = 3 -5 3 = 5+12+21+10-21+6 =

2*х + 7*y – z = 8 2 7 -1 = 33

4 2 1

D1= 1 -5 3 = 20+7+48+40-84+2=33 x = D1 / D = 33/33 = 1

8 7 -1

1 4 1

D2= 3 1 3 = -1+24+24-2-24+12=33 y = D2 / D = 33/33 = 1

2 8 -1

1 2 4

D3= 3 -5 1 = -40+84+4+40-7-48=33 z = D3 / D = 33/33 = 1

2 7 8

Следствие: если определитель D равен 0, то система либо не имеет решений, т.е. несовместна, либо имеет бесконечно много решений, т.е. неопределенная.





Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 249 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...