Определители и их свойства

Определение1: Определителем второго порядка называется число, которое:

- обозначается следующим символом

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

- и вычисляется по следующей формуле

a₁₁ a₁₂

= a₁₁*a₁₂ – a₂₁*a₁₂, где a_ij – числа; i, j = 1,2

a₂₁ a₂₂ a_ij – элемент определителя, расположенный в i-той

строке и j-том столбце.

1 2

= 1*4 – 2*3 = 4 – 6 = -2

3 4

Определение2: Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается следующим символом и вычисляется по следующей формуле:

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₂₁*a₃₂ * a₁₃ -

a₃₁ a₃₂ a₃₃ - a₃₁*a₂₂ * a₁₃ – a₂₁*a₁₂ * a₃₃ – a₃₂*a₂₃ * a₁₁

Для более легкого запоминания формул используется правило треугольников:

“ + “ “ – “

* * * * * *

* * *; * * *

* * * * * *

В соответствии со схемой треугольников вычисляются произведения и, при формировании общей суммы, произведения элементов берутся:

- по главной диагонали и образующим треугольникам со сторонами, параллельными этой диагонали, – со знаком “+”

- по вспомогательной диагонали и образующим треугольникам со сторонами, параллельными этой диагонали, – со знаком “-“

Пример: Вычислить определитель:

1 2 3

0 -1 1 = 1*(-1)*6 + 0*4*3 + 2*(-1) * 3 - 2*(-1) * 3-

2 4 6 - 0*2 * 6 – 4*1*1 = -6 + 0 + 4 + 6 – 0 – 4 = 0

Определение: Определитель первого порядка равен непосредственно своему единственному элементу: | a₁₁ | = a₁₁.

Определение: Минором элемента a_ij некоторого определителя называют определитель, который обозначают М_ij и получают из данного определителя, вычеркиванием i – строки и j-того столбца.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

Для определителя: D = a₂₁ a₂₂ a₂₃ получим:

A₃₁ a₃₂ a₃₃

a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₃ a₂₁ a₂₂

M₁₁ = a₃₂ a₃₃ M₁₂ = a₃₁ a₃₃ M₁₃ = a₃₁ a₃₂

и так далее.

Для представленного выше примера:

1 3 1 2

M₂₂ = 2 6 = 1*6 – 2*3 = 0, M₂₃ = 2 4 = 1*4 – 2*2 = 0.

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij называют число А_ij, которое вычисляют по следующей формуле

А_ij = (-1)^(i+j) * М_ij