Основные свойства дифференциала

Непосредственно из определения дифференциала и правил нахождения производных имеем :

1. .

2. , если x – независимая переменная.

3. .

4. .

5. .

6. .

Найти дифференциалы функций:

Пример 1. .

Находим производную данной функции: , тогда , следовательно, .

Пример 2. .

Находим производную данной функции: , тогда

Пример 3. . Дифференциал функции , тогда

Пример 4. . Дифференциал функции .

13. Дифференциал п -го порядка

Дифференциал 2-го порядка от функции (его обозначают символом ) – это дифференциал от её дифференциала, рассматриваемого как функция только основного аргумента (т.е. при постоянном ):

Найдем выражение

.

Таким образом, дифференциал функции 2-го порядка равен произведению её второй производной на квадрат дифференциала независимого переменного.

Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка: . Если и независимая переменная, то .

Определение. Дифференциалом п-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала (п -1) порядка этой функции, т.е.

,

Если и независимая переменная, то

Пример. Найти дифференциал 2-го порядка функции .

Решение. Имеем ; .

Тогда .