Геометрический смысл производной. Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла её наклона, то уравнение касательной у = k x + b к кривой дифференцируемой функции у=f(x) в точке

Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла её наклона, то уравнение касательной у = k x + b к кривой дифференцируемой функции у = f (x) в точке М (х ₀, у ₀) можно записать следующим образом:

у – у ₀ = k (x – х ₀) = f' (x ₀) (x – х ₀) или у = f' (x ₀) (x – х ₀) + у ₀.

Таким образом, производная k = y' ₀ = f' (x ₀) есть тангенс угла наклона кривой у = f (x) в точке х ₀ к оси Ох.

Для функции у = f (x) ее производная у ' = f '(х) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке (рис.1).

Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифференцируема в этой точке.

Если функция f (x) непрерывна в точке х ₀ и имеет правую и левую производные f '₊ и f '_-, причем f '₊ ≠ f '_-, то в точке х ₀ график функции у = f (x) касательной не имеет (рис. 3). Но в точке х ₀ существуют две односторонние полукасательные (правая и левая касательные). Точка на графике, в которой происходит излом графика, называется угловой точкой кривой f (x).

Рис. 3.

Если функция f (x) непрерывна в точке х ₀, а ее правая и левая производные в этой точке бесконечны, то возможны 4 различных случая:

1) (рис. 4);

2) (рис. 5);

3) (рис. 6);

4) (рис. 7).

Графики на рисунках проходят через точку М под углом 90^о, касательная перпендикулярна оси Ох.