Уравнение касательной к кривой

Пусть кривая описывается уравнением z = z (x), а прямая – уравнением

y = kx + b (рис. 2).

Определение 1. Касательной к графику называют прямую линию

y = kx + b, которая наилучшим образом описывает исходную функцию z = z (x) в окрестности точки х ₀. «Наилучшим образом» означает, что в окрестности точки х ₀ выполняется z (x) – (kx + b) = α, где α = α(х – х ₀) есть бесконечно малая функция при х → х ₀.

Рис. 2

Выведем уравнение касательной к кривой.

В соответствии с определением производной

.

По определению предела , где β = β(х – х ₀) – б.м.ф. при х → х ₀. Отсюда .

Обозначим . Тогда в окрестности точки х ₀ уравнение кривой z = z (x) можно представить как z = kx + b + α.

Следовательно, y = kx + b есть по определению уравнение касательной к кривой z = z (x) в точке х ₀.

Определение 2. Нормалью называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.