Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал ∆y ≈ dy.

Как следует из рис.7, погрешность от такой замены при ∆ х →0 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ∆ х.

Подставляя в это соотношение формулу для dy и выражение для ∆у (∆у=f (х+∆х) – f (x)), получим

f (х+∆х) = f (x) + ∆у ≈ f (x) + f' (х)·∆ х.

Эта формула называется формулой линеаризации и является основной в приближенных вычислениях.

Пример 1. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию в окрестности точки x =1.

. Принимая ∆х = 0,07, получим из формулы линеаризации

Пример 2. Найти приближенно .

Решение. Используем формулу линеаризации

.

Пусть , тогда . При малых ∆х справедлива формула

Для (х + Δ х) запишем . В радианной мере радиан. Тогда .

Используя формулу , имеем:

.

Пример 3. Вывести приближенную формулу линеаризации (для | ∆х |, малых по сравнению с x): , и с её помощью найти приближенные значения для .

Решение. Пусть , тогда , приращение .

Следовательно, . Отсюда,

Полагая ; , и применяя формулу линеаризации, имеем:

.

.

Пример 4. Вычислить приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию , полагая , . Применяя формулу , получаем

Пример 5. Найти приращение и дифференциал функции при и .

Решение. Запишем приращение функции :

Главная часть приращения, линейная относительно , является дифференциалом или .

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен м.

Решение. Воспользуемся формулой , полагая , . Имеем

Приближенное значение площади круга составляет

.