Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами

Определение 1. Скалярным произведением (a, b) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(a, b) = ç a ç×ç b ç×cos j.

В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если a (x ₁, y ₁) и b (x ₂, y ₂), то (a, b) = x ₁× x ₂ + y ₁× y ₂.

Если a (x ₁, y ₁, z ₁) и b (x ₂, y ₂, z ₂), то (a, b) = x ₁× x ₂ + y ₁× y ₂ + z ₁× z ₂.

Угол между векторами вычисляется по формуле .

15. n -мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов

Определение 1. n - мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x ₁, x ₂, …, x_n), где x_i есть i -ая компонента вектора x.

Два n -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если x_i = y_i, для = 1, 2, …, n.

Определение 2. Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть z_i = x_i + y_i для = 1, 2, …, n.

Определение 3. Произведением вектора x на действительное число l называется вектор u = l × x, компоненты u_i которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора x, то есть u_i = l × x_i для = 1, 2, …, n.

Определение 4. Вектор a _m называется линейной комбинацией векторов a ₁, a ₂,..., a _m-1, если a _m = l ₁ a ₁+ l ₂ a ₂+... + l _m-1 a _m-1, где l ₁, l ₂,..., l _m-1 – некоторые действительные числа.

Определение 5. Векторы a ₁, a ₂,..., a _m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l ₁, l ₂,..., l _m, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация l ₁ a ₁+ l ₂ a ₂+... + l _m a _m равна нулевому вектору.

В противном случае векторы называются линейно независимыми.