Похідна оберненої, неявної , степенево-показникової та параметричної функцій

Теорема про диференціювання складеної функції дає можливість довести правила обчислення похідних для функцій.

1. Обернена функція. Якщо функція має обернену і існує похідна відмінна від нуля в деякій точці , то .

Доведення. Згідно з означенням оберненої функції змінну можна розглядати як складену функцію:

, ,

Тоді:

.

Візьмемо похідну від цієї функції за змінною .

, або

Таким чином,

і .

Приклад. Знайти похідні:

а) .

Вважаючи, що , , або

.

Отже,

.

б)

Тоді , , .

2. Неявна функція. Функція визначається нерозв'язаним відносно рівнянням:

, або

Для знаходження похідної від не має потреби розв'язувати рівняння відносно (не завжди це можно зробити), достатньо розглянути як своєрідну складену функцію від із врахуванням, що , знайти з цієї тотожності. Покажемо це на прикладі залежності ординати у точки кривої другого порядку, яка має рівняння:

Знайдемо похідну обидвох частин рівняння по , враховуючи, що змінна – функція . Отже,

Розв'язуючи це рівняння відносно маємо:

Для обчислення похідної в деякій точці треба знати і відповідне значення функції .

3. Степенево-показникова функція (логорифмічне диференціювання). Функція, яка має вигляд називається степенево-показниковою. Для обчислення похідної цієї функції знайдемо: . Одержана функція буде неявною і до неї застосуємо правило диференціювання неявної функції. Отже,

.

З цієї рівності одержимо

.

Приклад. Знайти похідну функції .

Згідно з правилом, одержимо:

або

.

Звідки

.

4. Параметрична функція. Функцію називають поданою в параметричній формі, якщо вона визначається за допомогою двох функцій , від допоміжної змінної (параметра), а саме

Параметричну функцію можна диференціювати, як неявну, не вдаючись до явного її завдання.

Теорема 3. Похідна функції, що задається рівняннями , дорівнює:

,

якщо та мають похідні по аргументу .

Доведення. Функцію від можна розглядати як складену функцію: , , тобто . Тоді, за правилом похідної складеної функції:

, бо .

Таким чином, теорему доведено.

Зауважемо, що геометрично — деяка лінія, тоді рівності ; називають параметричними рівняннями лінії.

Приклад. Знайти похідну функції

Відповідно теоремі:

,

тобто

.

Геометрично, якщо виключити параметр , одержуємо:

Тобто, задана параметрична функція є параметричним рівнянням кола, радиуса , – кут між радіусом – вектором точки кола і додатним напрямком осі .