Означення похідної, її зв'язок з неперервністю функцій

Нехай функція визначена на множині . Задамо значення аргументу . Надаємо приріст аргументу , такий, що . Тоді відповідний приріст функції буде Означення. Похідною функції в точці називається границя відношення прирісту функції у цій точці до прирісту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля довільним способом. Тобто:

.

Процес відшукання похідної функції зветься диференціюванням. Якщо функція має похідну в точці вона називається диференційована в цій точці. Похідна в данній точці – це число. Якщо похідна існує в кожній точці множини , то функція – диференційована на множині. При цьому похідна змінюється разом із значенням , тобто є функцією аргументу .

Для похідної функції вживають різні позначення. Наприклад: , , , . Аналізуючи означення похідної функції в деякій точці . одержуємо загальний порядок відшукання похідної, а саме:

1) надаємо аргументові приріст і знаходимо відповідний приріст функції ;

2) ділимо приріст функції на приріст аргументу, тобто знаходимо відношення прирістів

;

3) шукаємо границю цього відношення, тобто і знаходимо, власне,похідну:

.

Приклади. Знайти похідні функцій:

а) , .

1) ;

2) ;

3)

б) .

1) ;

2) ;

3)

в) .

1)

2) ;

3) .

Теорема 1. (про неперервність диференційованої функції). Якщо функція диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці.

Доведення. Нехай функція має похідну в точці .

Тобто:

.

За крітерієм існування границі маємо

,

де – нескінченно мала при

Отже, і, враховуючи арифметичні властивості границьта нескінченно малих, одержуємо: . Це і значить, що неперервна у точці . Обернене до теореми 1 твердження в загалі може і не виконуватися. Тобто, із неперервності функції не випливає диференційованість .