![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай функція визначена на множині
. Задамо значення аргументу
. Надаємо приріст аргументу
, такий, що
. Тоді відповідний приріст функції буде
Означення. Похідною функції
в точці
називається границя відношення прирісту функції
у цій точці до прирісту аргументу
, коли приріст аргументу прямує до нуля довільним способом. Тобто:
.
Процес відшукання похідної функції зветься диференціюванням. Якщо функція має похідну в точці вона називається диференційована в цій точці. Похідна в данній точці – це число. Якщо похідна існує в кожній точці множини
, то функція – диференційована на множині. При цьому похідна змінюється разом із значенням
, тобто є функцією аргументу
.
Для похідної функції вживають різні позначення. Наприклад: ,
,
,
. Аналізуючи означення похідної функції
в деякій точці
. одержуємо загальний порядок відшукання похідної, а саме:
1) надаємо аргументові приріст
і знаходимо відповідний приріст функції
;
2) ділимо приріст функції на приріст аргументу, тобто знаходимо відношення прирістів
;
3) шукаємо границю цього відношення, тобто і знаходимо, власне,похідну:
.
Приклади. Знайти похідні функцій:
а) ,
.
1) ;
2) ;
3)
б) .
1) ;
2) ;
3)
в) .
1)
2) ;
3) .
Теорема 1. (про неперервність диференційованої функції). Якщо функція диференційована в точці
, то вона неперервна в цій точці.
Доведення. Нехай функція має похідну
в точці
.
Тобто:
.
За крітерієм існування границі маємо
,
де – нескінченно мала при
Отже, і, враховуючи арифметичні властивості границьта нескінченно малих, одержуємо:
. Це і значить, що
неперервна у точці
. Обернене до теореми 1 твердження в загалі може і не виконуватися. Тобто, із неперервності функції не випливає диференційованість
.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 790 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!