Похідна складеної функції

Теорема 2. Якщо функція при деякому значенні має похідну , а функція має похідну в точці , якій відповідає значення , то похідна складеної функції визначаєтсья за формулою:

або

Доведення. За умовою теореми функція має похідну в точці , тобто існує , звідки, згідно з теоремою про границю маємо: , де – нескінченно мала при . Тоді

або

.

При і (завдяки неперервності функції, що має похідну). Отже, знайдемо границю :

.

Звідки одержуємо правило для знаходження похідної складної функції:

.

Приклади.

Знайти похідну:

а) .

Якщо , тоді . За таблицею похідних будемо мати:

.

б)

Отже,

Випадок складеної функції як суперпозиції декількох вичерпується послідовним застосуванням наведеного правила. Так, для функції

, ,

Приклад. Знайти похідну , .