Геометричний, фізичний та економічний зміст похідної

1. Задача про проведенні дотичної до графіка функції в точці (Рис.9.1).

Рис. 9.1.

Рівняння дотичної до кривої в точці , . Кутовий коефіцієнт дотичної: . Тобто,

.

Звідси рівняння дотичної має вигляд:

,

а нормалі (перпендикуляра до дотичної)

.

2. Задача про знаходження швидкості прямолінійного руху матеріальної точки, якщо відома функція шляху . Якщо на інтервалі , вважати рух равномірним, то , тобто, швидкість руху в момент часу є похідною функції шляху . Якщо термін "швидкість" розуміти в більш загальному сенсі, то похідну можна трактувати, як швидкість змінювання функції порівнянно зі змінною .

3. Нехай підприємство виробляє однородну продукцію. Тоді витрати підприємства є функцією об'єму виробництва . Якщо кількість продукції змінилася на , тоді витрати виробництва також зміняться на .

.

І отже, рівність:

– це середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції. Якщо в цій рівності перейти до границі:

,

то одержимо граничні витрати виробництва, або собівартість продукції при даному об'ємі виробництва .

Означення. Еластичністю виробничої функції називають

. Зміст цієї формули полягає в можливості наближено обрахувати, на скільки процентів зміниться виробнича функція в точці , якщо об'єм виробництва зміниться на 1% (при , ).

Таблиця похідних та правила обчислювання

Наведемо основні правила диференціювання, або властивості похідних. Нехай функції та мають похідні в певній точці , тоді в тій же точці:

1)

2)

3)

Доведення приведемо для добутку функцій , використовуючи загальну схему відшукання похідних. Надамо аргументові приріст , тоді функції здобудуть, відповідно прирости , , .Їхні нові значення , , , зв'язанні співвідношенням

.

Звідки

,

а

Спрямуємо до нуля, тоді, згідно з теоремою про неперервність диференційованої функції і при ; границі відношень , , при дають відповідно і . Таким чином,

.

Приклади. Знайти похідні функцій

а)

;

Отже,

б)

;

Отже, .

в) .

Отже, .

Таким чином, похідну будь-якої елементарної функції можна знайти, якщо користуватися правилами та таблицею похідних основних елементарних функцій.

Таблиця похідних

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.