Загальні відомості. Арифметичні операції в усіх позиційних системах числення виконуються за тими же відомими правилами, з якими працюємо в десятковій системі числення

Арифметичні операції в усіх позиційних системах числення виконуються за тими же відомими правилами, з якими працюємо в десятковій системі числення.

Арифметика у двійковій системі числення заснована на використанні таблиць додавання, віднімання та множення (рис. 2.1).

Таблиця додавання
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=	(1)0

Таблиця множення
	∙		=
	∙		=
	∙		=
	∙		=

Таблиця віднімання
	–		=
	–		=
	–		=
(1)0	–		=

перенесення одиниці позика одиниці

в старший розряд зі старшого розряду

Рис. 2.1 – Таблиці додавання, віднімання та множення

Двійкове додавання виконується за тими же правилами, що і в десятковій системі числення, тобто порозрядно, але с тією лише різницею, що перенесення одиниці в старший розряд проводиться після того, як сума досягне не десяти, а двох (10₂).

Приклад 1. Виконати додавання двійкових чисел 1101₂ + 1110₂ :

	+1

Таким чином: 1101₂ + 1110₂ = 11011₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₂ = 1∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰ = 13₁₀,

₂ = 1∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹ + 0∙2⁰ = 14₁₀,

₂ = 1∙2⁴ + 1∙2³ + 0∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰ = 27₁₀.

Приклад 2. Виконати додавання двійкових чисел 10101,11₂ + 111,101₂ :

	+1					,
						,
						,

Таким чином: 10101,11₂ + 111,101₂ = 11101,011₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₂ = 1∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰ + 1∙2^-1 + 1∙2^-2 = 21 + 0,75 = 21,75₁₀.

₂ = 1∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰ + 1∙2^-1 + 0∙2^-2 + 1∙2^-3 = 7 + 0,125 = 7,625₁₀.

₂ = 1∙2⁴ + 1∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰ + 0∙2^-1 + 1∙2^-2 + 1∙2^-3 =
= 29 + 0,625 = 29,325₁₀.

Примiтка: При додаванні кількох додатків необхідно стежити за одиницями перенесення в старші розряди, тому що ці одиниці можуть переходити не тільки в сусідні старші розряди, але і вище.

Приклад 3. Виконати додавання двійкових чисел

1111₂ + 1101₂ + 10001₂ + 0111₂.

Складаючи перший розряд, отримують число 4, яке є трирозрядним двійковим числом 100. Отже, у цьому розряді буде 0, а перенесення одиниці роблять у 3-й вищий розряд. У 2-му розряді отримують 2, в цьому випадку перенесення роблять у сусідній вищий розряд. У 3-му розряді з урахуванням перенесення двох одиниць виходить число 5, яке дорівнює числу трирозрядному 101 у двійковій системі числення, тому одиницю в цьому розряді залишають, а 100 переносять через один розряд. У 4-му розряді отримують 2, отже, залишають 0, а одиницю переносять в сусідній вищий розряд. У 5-му розряді отримують 3, яке дорівнює двохрозрядному числу 11, одиницю залишають, а другу одиницю переносять у вищий розряд.

		+1
		+1
		+0

Таким чином: 1111₂ + 1101₂ + 10001₂ + 0111₂ = 110100₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

1111₂ = 15₁₀,

1101₂ = 13₁₀,

10001₂ = 17₁₀,

0111₂ = 7_10,

15 + 13 + 17 + 7 = 52₁₀.

₂ = 1 ∙ 2⁵ + 1 ∙ 2⁴ + 0 ∙ 2³ + 1 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 0 ∙ 2⁰ = 32 + 16 + 4 = 52₁₀.

Додавання у шістнадцятковій системі числення виконується порозрядно починаючи з молодших розрядів. Кожний символ перетворюється в десяткову систему числення, потім виконується додавання, а результат обратно переводиться назад у шістнадцяткову систему.

Приклад 4. Виконати додавання двох чисел у шістнадцятковій системі числення FB ₁₆+ C 6₁₆:

+

B ₁₆ + 6₁₆ = 11₁₀+6₁₀ = 17₁₀ = 16₁₀+1₁₀ = 11₁₆,

F ₁₆ + C ₁₆ + 1₁₆ = 15₁₀+12₁₀+1₁₀ = 28₁₀ = 16₁₀+12₁₀ = 1 C ₁₆,

перенос з молодших розрядів

FB ₁₆ + C 6₁₆ = 1 C 1₁₆.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

FB ₁₆ = 15 ∙ 16¹ + 11 ∙ 16⁰ = 251₁₀,

C 6₁₆ = 13 ∙ 16¹ + 6 ∙ 16⁰ = 198₁₀,

251₁₀ + 198₁₀ = 449₁₀,

1 C 1₁₆ = 1 ∙ 16² + 13 ∙ 16¹ + 1 ∙ 16⁰ = 449₁₀.

Приклад 5. Виконати додавання двох чисел у шістнадцятковій системі числення FDB ₁₆ + 49 F ₁₆ + C 5A₁₆:

B ₁₆ + F_{1 6} + A ₁₆ = 11₁₀ + 15₁₀ + 10₁₀= 36₁₀ = 16₁₀ + 16₁₀ + 4₁₀ = 24₁₆.

D ₁₆+9₁₆ + 5₁₆ + 2₁₆ = 14₁₀ + 9₁₀ + 5₁₀ + 2₁₀ = 29₁₀=16₁₀ + 14₁₀ = 1 D ₁₆.

перенос з молодших розрядів

F ₁₆ + 4₁₆ + C ₁₆ + 1₁₆ = 15₁₀ + 4₁₀ + 13₁₀ + 1₁₀ = 32₁₀ = 16₁₀ + 16₁₀ = 20₁₆.

перенос з молодших розрядів

FDB ₁₆ + 49F₁₆ + C 5 A ₁₆ = 20 D 4₁₆.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

FDB ₁₆ = 15∙16² + 14∙16¹ + 12∙16⁰ = 4059₁₀,

49 F ₁₆ = 4∙16² + 9∙16¹ +15∙16⁰ = 1183₁₀,

C 5A₁₆ = 13∙16² + 5∙16¹ + 10∙16⁰ = 12 3162_10,

4059₁₀ + 1183₁₀ + 3162₁₀ = 8404₁₀,

20 D 4₁₆ = 2∙16³ + 0∙16² + 14∙16¹ + 4∙16⁰ = 8404₁₀.

При відніманні двійкових чисел у даному розряді при необхідності займається 1 зі старшого розряду. Ця займана одиниця дорівнює двом одиницям цього розряду.

Приклад 6. Віднімання двійкових чисел 11001₂ – 1101₂ :

	-1

Таким чином: 11101₂ – 1101₂ = 1100₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₂ = 25₁₀,

₂ = 13₁₀,

25₁₀ – 13₁₀ = 12₁₀,

₂ = 12₁₀.

Приклад 7. Віднімання двійкових чисел 11,01₂ – 1,1₂ :

	-1		,
			,
			,

Таким чином: 11,01₂ – 1,1₂ = 1,11₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₂ = 3,25₁₀,

₂ = 1,5₁₀,

3,25₁₀ – 1,5₁₀ = 1,75₁₀,

₂ = 1,75₁₀.

При множенні в двійковій системі числення двох n -розрядних чисел отримуємо 2ⁿ – розрядний добуток. Множення виконується за допомогою операцій зсуву і додавання.

Приклад 8. Виконати множення двійкових чисел 111₂ ∙ 101₂ :

			∙1
			+1
		+0

Таким чином: 111₂ ∙ 101₂ = 100011₂

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₂ = 7₁₀

₂ = 5₁₀

7₁₀ ∙ 5₁₀ = 35₁₀

₂ = 1∙2⁵ + 0∙2⁴ + 0∙2³ + 0∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰ = 32 + 2 + 1 = 35₁₀.

Ділення двійкових чисел здійснюється за тими ж правилами, що й для десяткових. При цьому використовуються таблиці двійкового множення і віднімання.

Приклад 9. Виконати ділення двійкових чисел101010₂: 111₂ :

-101010
-00111

Таким чином: 101010₂: 111₂ = 110₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

101010₂ = 42₁₀,

111₂ = 7₁₀,

42₁₀: 7₁₀ = 6₁₀,

110₂ = 6₁₀.

У частці пишемо першу 1, тому що число в двійковій системі не може починатися з 0. Множимо цю 1 на дільник, результат записуємо під ділене, дотримуючись розрядності. Виконуємо віднімання за правилами обчислення в двійковій системі числення. Зносимо наступну цифру діленого, і отримане число порівнюємо з дільником. У даному випадку – отримане число менше дільника, в частці записуємо 0 (у противному випадку – 1). Зносимо наступну цифру діленого. Отримали число, яке дорівнює дільнику, в частці записуємо 1, і т.д.

Приклад 10. Виконати ділення двійкових чисел 110010₂: 1010₂ :

-110010
- 001010

Таким чином: 110010₂: 1010₂ = 101₂.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

110010₂ = 50₁₀,

1010₂ = 10₁₀,

50₁₀: 10₁₀ = 5_10,

101₂ = 5₁₀.

Приклад 11. Виконати ділення двійкових чисел 11001₂: 101000₂:

-110010
0,101
-101000

Таким чином: 11001₂: 101000₂ = 0,101₂^.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

11001₂ = 25₁₀,

101000₂ = 40₁₀,

-250
0,625
-100
-200

25₁₀: 40₁₀ = 0,625₁₀.

Як видно з наведених прикладів, операція поділу може бути представлена як операція порівняння, зсуву та підсумовування.

У вісімковій системі числення всі операції проводяться за тими ж правилами, за якими ці дії виконуються в десятковій системі числення. При виконанні операцій додавання і віднімання зручно використовувати вісімкову таблицю складання, при виконання операції множення використовуємо таблицю множення (додаток С).

Приклад 12. Додавання вісімкових чисел 741₈ + 252₈ :

	+2

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₈ = 7∙8² + 4∙8¹ + 1∙8⁰ = 481₁₀,

₈ = 2∙8² + 5∙8¹ + 2∙8⁰ = 170₁₀,

₈ = 1∙8³+2∙8²+1∙8¹+3∙8⁰=651₁₀,

481₁₀ + 179₁₀ = 651₁₀.

Приклад 13. Віднімання вісімкових чисел 346₈ – 154₈:

-1

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₈ = 3∙8² + 4∙8¹ + 6∙8⁰ = 230₁₀,

₈ = 1∙8² + 5∙8¹ + 4∙8⁰ = 108₁₀,

230₁₀ – 154₁₀ = 122₁₀,

₈ = 1∙8² + 7∙8¹ + 2∙8⁰ = 122₁₀.

Приклад 14. Множення вісімкових чисел 31₈ ∙ 23₈ :

	∙2

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

₈ = 3 ∙ 8¹ + 1∙8⁰ = 25₁₀,

₈ = 2 ∙ 8¹ + 3 ∙ 8⁰ = 19₁₀,

25₁₀ ∙ 19₁₀ = 475₁₀,

₈ = 7 ∙ 8² + 3 ∙ 8¹ + 3 ∙ 8⁰ = 475₁₀.

Приклад 15. Виконати м ноження вісімкових чисел 1170,64₈ ∙ 46,3₈:

1170,64

46,3

355 234

7324 70

47432 0

57334, 134

Таким чином: 1170.64₈ ∙ 46,3₈ = 57334,134₍₈₎.

Зробимо перевірку у десятковій системі числення:

1170,64₈ = 8³∙1 + 8²∙1 + 8¹∙7 + 8⁰∙0 + 8^-1∙6 + 8^-2∙4 = 632,8125₁₀

46,3₈ = 8¹∙4 + 8⁰∙6 + 8^-1∙3 = 38,375₁₀

632,8125₁₀ ∙ 38,375₁₀ = 24284,1796₁₀

57334,134₍₈₎ = 8⁴∙5 + 8³∙7 + 8²∙3 + 8¹∙3 + 8⁰∙4 + 8^-1∙1 + 8^-2∙3 + 8^-3∙4 = 24284,1796₁₀.

Порядок виконання лабораторної роботи

1. Виконати розрахунок числа:

a = ((N ∙181 + 45341)∙g) % 61492 + 546

b = ((N + g)∙151) % 62 + 46

c = ((N + g)∙37) % 14 + 8

де N – номер за журналом, g – код групи

% – залишок від ділення 2-х чисел.

2. Перевести число a у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову систему числення.

3. Перевести число b у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову систему числення.

4. Перевести число c у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову систему числення.

5. Виконати додавання двох чисел a і b у двійковій системі числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

6. Виконати додавання двох чисел a і c у вісімковій системі числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

7. Виконати додавання двох чисел b і c у шістнадцятковій системі числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

8. Перемножити числа a і b в двійковій системі числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

9. Перемножити числа c і b в вісімковій системі числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

10. Виконати віднімання двох чисел a і b в двійковій системи числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

11. Виконати ділення двох чисел b і с у двійкові системі числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.

12. Виконати віднімання двох чисел a і c у вісімковій системи числення. Перевірити результат у десятковій системі числення.