Примеры. 1) Отображение является изоморфизмом из (R; +) в (R>0; )

1) Отображение является изоморфизмом из (R; +) в (R_>0; ). Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

2) В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида отождествлялись с множеством действительных чисел . Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.

3) Отображение C C такое, что , является изоморфизмом.

4) Отображение R R такое, что , является изоморфизмом аддитивной группы и не является гомоморфизмом мультипликативной группы. Действительно, , но .

Теорема 7. Пусть − изоморфизм. Тогда

1) если − коммутативна, то − также коммутативна;

2) аналогично для ассоциативности;

3) если − нейтральный элемент в относительно , то − нейтральный элемент в относительно ;

4) если и − взаимно обратные элементы из , то и − взаимно обратные из .