Основные типы алгебраических структур

1°.Алгебраические операции.

Алгебра − наука об алгебраических операциях.

Пусть X − произвольное множество.

Определение 1. -арной алгебраической операцией на X называется отображение . Т.е. –компонентному элементу однозначно ставится в соответствие элемент .

Задача. Пусть . Сколько n– арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Алгебраические операции при называются унарными, при – бинарными, – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.

Если , то пишут или . Операции на X обозначают символами . Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения.

Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой.

На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры.

Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур).

1. (R, +), так что R имеем

2. (R, -).

3. (R, ).

4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на (R ).

5–8. То же самое для С.

9. (Rⁿ, +)

10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. R³ R³ R.

11. – множество всех отображений относительно операции композиции является алгебраической структурой.

12. Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую (символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде

2	Д	О	Т
Д	Д	О	Д
О	О	Д	Т
Т	Т	Т	Д

13. Примерами тернарных операций на R R R R являются:

1) .

2) .

3) .

Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами.

Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если выполняется .

Замечание. Если и − коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.

Задача. Пусть . Сколько коммутативных бинарных операций на X? Ответ. Таких операций .