Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Свойства группы



1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

2) Для уравнения имеют единственное решение:

, .

Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , т.е. − решение.

Если z – другое решение, то после умножения слева на x – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.

3) Закон сокращения в группе. Если .

Доказательство следует из свойства 2).

Важный пример (группа перестановок степени ).

Пусть ­­− произвольное множество из элементов; например,

Определение 8. Перестановкой степени называетсявзаимнооднозначное отображение множества в .

Множество всех перестановок степени обозначается . Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита: Перестановка изображается двурядным символом:

.

Такой символ обозначает отображение

Утверждение 1. Число различных перестановок степени равно

Доказательство. В качестве первого элемента можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора Таким образом,

На множестве перестановок вводится операция умножения по формуле

Например, если

то

Утверждение 2. Множество образует группу, не являющуюся коммутативной.

Доказательство. Вначале проверим ассоциативность умножения. Пусть и Тогда по определению легко проверить выполнение равенства Тождественная перестановка является нейтральным элементом в рассматриваемом множестве, симметричный элемент получается перестановкой строк. Некоммутативность легко проверяется на предыдущем примере.■

3°. Кольцо, свойства кольца.

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа.

2) умножение ассоциативно, т.е.

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!!!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.





Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 375 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.012 с)...