Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.
Доказательство следует из теорем 1 и 2.
2) Для уравнения имеют единственное решение:
, .
Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , т.е. − решение.
Если z – другое решение, то после умножения слева на x – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.
3) Закон сокращения в группе. Если .
Доказательство следует из свойства 2).
Важный пример (группа перестановок степени ).
Пусть − произвольное множество из элементов; например,
Определение 8. Перестановкой степени называетсявзаимнооднозначное отображение множества в .
Множество всех перестановок степени обозначается . Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита: Перестановка изображается двурядным символом:
.
Такой символ обозначает отображение
Утверждение 1. Число различных перестановок степени равно
Доказательство. В качестве первого элемента можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора Таким образом, ■
На множестве перестановок вводится операция умножения по формуле
Например, если
то
Утверждение 2. Множество образует группу, не являющуюся коммутативной.
Доказательство. Вначале проверим ассоциативность умножения. Пусть и Тогда по определению легко проверить выполнение равенства Тождественная перестановка является нейтральным элементом в рассматриваемом множестве, симметричный элемент получается перестановкой строк. Некоммутативность легко проверяется на предыдущем примере.■
3°. Кольцо, свойства кольца.
В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.
Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:
1) (K, +) – абелева группа.
2) умножение ассоциативно, т.е.
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.
, .
Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!!!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 375 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!