![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При достаточно большом объеме выборки статистические данные позволяют подобрать подходящее распределение вероятностей. С этой целью можно рассмотреть некоторые известные распределения, например равномерное, нормальное и гамма-распределение.
Предположим, что случайная величина Xимеет функцию распределения F(x). Будем называть это предположение гипотезой о виде распределения случайной величины X. Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их некоторые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины Xбыло равно выборочной средней – m = 17.74, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X— выборочному среднему квадратическому отклонению – .
Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами:
Далее построим таблицу 3.2.3.1.
Таблица 3.2.3.1. Значения плотностей распределения
Пар-ры равн. распр-я | |
a | -16.243 |
b | 51.722 |
Пар-ры норм. распр-я | |
m | 17.739 |
σ | 19.620 |
Пар-ры гамма- распр-я | |
α | 0.818 |
β | 21.699 |
Середина | Плотность относ. частот | Плотность равномер. распред. | Плотность нормал. распред. | Плотность гамма- распред. |
9.250 | 0.042 | 0.015 | 0.019 | 0.031 |
25.750 | 0.013 | 0.015 | 0.019 | 0.012 |
42.250 | 0.004 | 0.015 | 0.009 | 0.005 |
58.750 | 0.000 | 0.000 | 0.002 | 0.002 |
75.250 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.001 |
91.750 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
108.250 | 0.001 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
124.750 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
141.250 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
157.750 | 0.001 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
Построим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Гистограмма частот— это графическое изображение зависимости плотности относительных частот от соответствующего интервала группировки. Графическое изображение гистограммы и кривых различных распределений приведено на рис. 3.2.3.1.—3.2.3.3.
Рис 3.2.3.1. Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения
Рис 3.2.3.2. Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рис 3.2.3.3. Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
По внешнему виду этих графиков вполне можно судить о соответствии кривой распределения данной гистограмме, т. е. о том, какая кривая ближе к полученной гистограмме.
Используя критерий , надо установить, верна ли принятая нами гипотеза о распределении случайной величины X,т. е. о соответствии функции распределения F(х)экспериментальным данным, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).
Для применения критерия необходимо, чтобы частоты
, соответствующе каждому интервалу, были не меньше 5. Если это не так, рядом стоящие Интервалы объединяются, а их частоты суммируются. В результате общее количество интервалов может уменьшиться до значения k’.Далее вычисляется следующая сумма:
где - теоретическая вероятность того, что случайная величина Xпримет
значение из интервала . Мы предположили, что случайная величина Xимеет функцию распределения F(x),поэтому
Расчет для трех распределений показан в табл. 3.2.3.2. Заметим, что интервалы с 5-ого по 10-й объединены в один, чтобы все частоты были не менее пяти.
Таблица 3.2.3.2. Подбор распределения на основе критерия
Левая граница | Правая граница | Частота | Вероятности | x2 |
Равномерное распределение | ||||
1.000 | 17.500 | 0.243 | 86.112 | |
17.500 | 34.000 | 0.243 | 0.442 | |
34.000 | 50.500 | 0.243 | 12.296 | |
50.500 | 67.000 | 0.018 | 1.798 | |
67.000 | 83.500 | 0.000 | #ДЕЛ/0! | |
83.500 | 166.000 | 0.000 | #ДЕЛ/0! | |
Сумма | 100.648 | |||
Нормальное распределение | ||||
1.000 | 17.500 | 0.298 | 54.069 | |
17.500 | 34.000 | 0.301 | 2.764 | |
34.000 | 50.500 | 0.156 | 4.751 | |
50.500 | 67.000 | 0.041 | 4.146 | |
67.000 | 83.500 | 0.006 | 0.562 | |
83.500 | 166.000 | 0.000 | 95.667 | |
Сумма | 161.960 | |||
Гамма- распределение | ||||
1.000 | 17.500 | 0.557 | 3.699 | |
17.500 | 34.000 | 0.204 | 0.021 | |
34.000 | 50.500 | 0.086 | 0.313 | |
50.500 | 67.000 | 0.038 | 3.798 | |
67.000 | 83.500 | 0.017 | 1.695 | |
83.500 | 166.000 | 0.014 | 0.286 | |
Сумма | 9.812 | |||
Критическое значение критерия | 7.815 |
Для каждого рассмотренного распределения определяются итоговые суммы которые равны соответственно 100,648, 161,96 и 9,812.
Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение достаточно мало, а именно не превосходит критического значения
, которое определяется по распределению
в зависимости от заданного уровня значимости
и числа степеней свободы
.Здесь s— число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке (для равномерного, нормального и гамма-распределений s = 2).В данном случае
.Полагая α = 0,05, критическое значение критерия
в Excel рассчитывается по формуле: ХИ2ОБР(0,05;2) = 7,815.
Поскольку <, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют гамма-распределение с параметрами α = 2,47 и β = 23,65 соответственно.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 623 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!