Тема 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Комбинаторика. Комбинаторные задачи и правила их решения. Понятие факториала. Перестановки, размещения и сочетания без повторений. Свойства сочетаний. Арифметический треугольник Паскаля, связь с биномиальными коэффициентами. Классификация событий. Основные определения и классификация событий. Понятие вероятности случайного события. Классическое определение и свойства вероятности. Вероятность достоверного и невозможного событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Формула полной вероятности. Схема испытаний Бернулли.

Основные термины: Факториал, перестановки, размещение, сочетания без повторений, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля. Достоверные, невозможные и случайные события; элементарный исход; события несовместные, равновозможные, единственновозможные, зависимые, независимые. Вероятность случайного события, вероятность достоверного события, вероятность невозможного события. Противоположные события, произведение событий, сумма событий.

Контрольные вопросы по теме 7:

1. Что изучает комбинаторика?

2. Сформулируйте правила суммы и произведения.

3. Запишите формулы для числа различных размещений , перестановок , число сочетаний из n элементов по k.

4. Что понимается под элементарным событием?

5. Дайте определения достоверных, невозможных и случайных событий; элементарного исхода; событий несовместных, равновозможных, единствен-новозможных, зависимых, независимых.

6. Введите понятие вероятности события.

7. Сформулируйте определение классической вероятности.

8. Какими простейшими свойствами обладает вероятность?

9. Если Y является m -подмножеством в n -множестве X и из X выбирают k -подмножеств А, то чему равна вероятность того, что среди выбранных элементов содержится ровно r элементов из Y?

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Практическое занятие 1 по теме: «Системы линейных уравнений. Теория определителей. Алгебра матриц»

План:

1. Рассмотрение понятий линейного уравнения, системы линейных уравнений, решения системы линейных уравнений.

2. Рассмотрение понятий совместной и несовместной системы, определённой и неопределенной системы.

3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

4. Определители второго и третьего порядка.

5. Свойства определителей.

6. Методы вычисления определителей произвольного порядка.

7. Сумма, разность, произведение матриц.

8. Умножение матриц и умножение матрицы на число.

9. Нахождение обратной матрицы.

11. Решение систем с помощью обратной матрицы.

12. Решение задач.

Контрольные вопросы и задачи

1. Решите системы уравнений:

а) б)

в) г)

2. Вычислите определители:

а) ; б) ; в) .

3. Вычислите матрицу , где

; ; .

4. Вычислите матрицу , где E – единичная матрица;

; ; .

5. Определите, имеет ли матрица A обратную, и если имеет, то вычислить её:

.

6. Решить матричные уравнения:

а) ; б) .

Литература

Основная:

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 9–53.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 47–68.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 338–371.

Дополнительная:

1. Кириллов А.Л. Математика для управленцев. Курс лекций. Спб.: издательство СЗАГС; издательство «Образование–Культура», 1999. С. 125–157.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 100–115.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 43–49, 50–62, 87–92.

4. Коваленко, Н.С. Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: учебное пособие / Н.С. Коваленко, Т.И. Чепелева. - Минск: Юнипресс, 2006. 208 с. (ЭБФ).

5. Малугин, В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: курс лекций / В.А. Малугин. М.: Эксмо, 2006. 224 с. (ЭБФ).

Практическое занятие 2 по теме «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

План:

1. Правила дифференцирования и таблица производных функции одного переменного.

2. Функции многих переменных, область определения, график, линии уровня.

3. Дифференцируемость функции многих переменных, дифференциал, частные производные.

4. Локальный экстремум функции многих переменных.

5. Решение задач.

Контрольные вопросы и задачи

1. Найдите производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; д) .

2. Определить области существования функций:

а) ; б) ; в) .

3. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Найти частные производные первого порядка и дифференциал от следующих функций:

а) ; б) ; в) .

5. Найти критические точки функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Литература

Основная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: учебник для студентов учреждений высш. проф. образования гуманитарных направлений. М.: Издательский центр «Академия», 2011. С. 80–117, 143–155.

2. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 176–208, 397–437.

3. Ганичева А.В. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. Тверь, 2002. С. 33–57, 84–101.

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2001. С. 61–147.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 81–133, 230–300.

Дополнительная:

1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 226–291, 366–426.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 159–195.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 149–196.

4. Практикум по математике: пособие для студентов 1 курса / сост. А.Л.Кириллов, В.И.Клоков, С.В.Полянская. Спб.: Изд-во СЗАГС, 2009. С. 4–21.

Практическое занятие 3 по теме: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

План:

1. Комбинаторика. Комбинаторные задачи и правила их решения.

2. Понятие факториала.

3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений.

4. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности. Приложение комбинаторики к вычислению вероятностей.

5. Теоремы о сумме и произведении вероятностей. Условная вероятность.

Контрольные вопросы и задачи

1. Вычислите: 7! + 8!; ; ; ; .

2. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?

3. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 10 футбольных команд, если известно, что никакие две команды не набрали поровну очков?

4. Вычислите ; .

5. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствуют 15 человек?

6. У лесника 3 собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

7. Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира.

8. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

9. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

10. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

11. Брошены две игральные кости. Найдите вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; б) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

12. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, произведение — четырем.

13. Монета брошена два раза. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

14. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

15. В условие задачи №41 внесем изменение. Пусть после того, как из первой урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

16. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Литература

Основная:

1. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. М.: Юрайт; ИД Юрайт, 2010. С. 8–37.

2. Кириллов А.Л. Математика для управленцев. Курс лекций. Спб.: издательство СЗАГС, 1999. С. 12–18.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. С. 18–70.

4. Курзенев В.А. Основы математической статистики для управленцев: Учебное пособие. Спб.: издательство СЗАГС, 2005. С. 7–30.

Дополнительная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: Учебник для студентов учреждений высш. Проф. Образования гуманитарных направлений. М.:Издательский центр «Академия», 2011. С. 195–209, 275–279.

2. Данчул А.Н., Митини А.И., Сафонова Т.Е., Симонов В.А. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебно-методическое пособие/ Под ред. А.Н.Данчула. М., 2004. С. 95–103.

3. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: Учеб. М.: Проспект, 2009. С. 25–28.

4. Колемаев В.А., Калинин В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/ Под ред. В.А.Колемаева. М.:ИНФРА-М, 1997. С. 10–36.