Тема 6. Интегральное исчисление

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от основных элементарных функций. Интегрирование заменой переменного и по частям. Интегрирование рациональных, некоторых иррациональных функций и тригонометрических выражений. Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменного и формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы.

Основные термины: первообразная, неопределённый интеграл, определённый интеграл, формула Ньютона–Лейбница, несобственный интеграл.

Контрольные вопросы по теме 6:

1. Какая функция называется первообразной функцией для данной?

2. Что такое неопределённый интеграл от функции?

3. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

4. Используя метод замены переменного, вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

5. Используя метод интегрирования по частям, найти интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

6. Найти интегралы от рациональных функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

7. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой на и осью абсцисс.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций .

9. Вычислить определённые интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

10. Вычислить несобственные интегралы:

а) ; б) .

11. Производительность труда рабочего в течение дня задаётся функцией (ден.ед./ч.), где – время (ч.) от начала работы, . Найти функцию , выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.