Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Производная и дифференциал. Геометрический, физический, экономический смысл производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производная основных элементарных функций. Производные высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения (теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя). Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке. Выпуклость функции и точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Точечные множества в n -мерном пространстве. Понятие функции нескольких переменных. Примеры таких функций (линейная, квадратичная; в экономике – функция полезности, производственная функция). Область определения, линии уровня функций нескольких переменных. Функции полезности и кривые безразличия. Производственная функция. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Частные производные. Дифференциалы функций нескольких переменных. Производная по направлению, градиент. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных. Условный экстремум: метод подстановки и метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

Основные термины: производная, дифференциал, производные высшего порядка, экстремум, линии уровня, частные производные, производная по направлению, условный экстремум.

Контрольные вопросы по теме 5:

1. Найти производную следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. Составить уравнение касательной к графику функции :

а) в точке ; б) в точке пересечения с осью ординат.

3. Найти производную n -го порядка функций: а) ; б) .

4. Объём продукции (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию , где – время (ч.) найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

5. Применяя правило Лопиталя, найти:

а) ; б) ; в) .

6. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) ; б) .

7. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) ; б) .

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) на отрезке ;

б) на промежутке .

9. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) .

10.Расходы на рекламу влияют на валовой доход по полученному эмпирически закону , где – доход в отсутствие рекламы. При каких значениях оптимальные расходы на рекламу могут превысить весь доход в отсутствие рекламы?

11.Используя понятие дифференциала, вычислить: а) ; б) .

12. Определить области существования функций:

а) ; б) ; в) .

13. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

14. Найти частные производные первого порядка и дифференциал от следующих функций: а) ; б) ; в) .

15. Найти производную по направлению функции в точке в направлении , образующим угол с осью абсцисс, если равен .

16. Найти критические точки функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума:

а) ; б) ;

в) ; г) .

17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на полукруге единичного радиуса с центром в начале координат и расположенном в правой полуплоскости.

18. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на треугольнике с вершинами в точках .

19. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу для функции, заданной следующей таблицей:

x	–0,2	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
y	3,2	2,9	1,8	1,6	1,2	0,7

Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По формуле вычислить значение переменной y при .

20. Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на факторы x и y линейны и задаются ценами .