Тема 3. Комплексные числа. Алгебраические многочлены

Построение поля комплексных чисел (в виде множества пар чисел с комплексным сложением и умножением). Алгебраическая форма комплексного числа. Роль поля комплексных чисел в математике (понимание поля комплексных чисел как расширения поля действительных чисел). Другие формы представления комплексных чисел, связь этих представлений. Формула Муавра. Модуль комплексного числа. Свойство модуля. Корни n -ой степени из комплексного числа. Определение корня многочлена. Теорема Безу и следствие из неё. Схема Горнера. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем. Определение делимости многочлена на многочлен. Определение наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Свойства взаимнопростых многочленов. Приводимые и неприводимые многочлены над данным полем. Существование и единственность разложения многочлена в произведение неприводимых. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена в произведение неприводимых над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел. Формальная производная. Показатель кратности неприводимого множителя. Отделение кратных множителей. Процедура отыскания рациональных корней многочлена.

Основные термины: комплексные числа, модуль комплексного числа, корень n -ой степени из комплексного числа, корень многочлена, наибольший общий делитель, взаимнопростые многочлены, приводимые и неприводимые многочлены, формальная производная.

Контрольные вопросы по теме 3:

1. Даны комплексные числа . Найдите , , , .

2. Комплексные числа представьте в показательной форме и найдите и .

3. Вычислите .

4. Выполните арифметические действия над комплексными числами:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

5. Решить в комплексных числах квадратные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) .