Выборочный метод. ДЕ-2.9/3.03

Математическая статистика уделяет большое внимание разработке методов, которые позволяют распространять выводы, сделанные на основе наблюдения части генеральной совокупности значений признака, на всю генеральную совокупность их значений. При проведении выборочных исследований предполагается, что в исходной совокупности отсутствуют резко отличающиеся по своим значениям элементы, и, следовательно, выборки можно считать однородными.

Исследование генеральной совокупности большого объема требует значительных затрат времени, материальных, финансовых и трудовых ресурсов. В целях экономии ресурсов применяется выборочный метод: изучается только часть данных, взятых из исходной совокупности — выборочная совокупность. Выборочной совокупностью (выборкой) называется часть значений признака, случайным образом отобранная из генеральной совокупности.

Случайным называется такой отбор, при котором каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть отобранным и результаты каждого шага отбора не зависят от предыдущих шагов. Примером случайного отбора является отбор из очень большой совокупности, характеристики которой не меняются при исключении из нее небольшого количества элементов, или отбор с возвратом (когда после измерения объект возвращается в генеральную совокупность). Далее мы будем рассматривать случайные выборки.

По результатам изучения выборки делаются выводы, распространяющиеся на всю совокупность данных. Точность выводов зависит от объема выборки. Чем больше объем выборки, тем выше точность, тем больше выборочные характеристики соответствуют генеральным, но в этом случае начинают расти расходы на исследования. Оптимальный объем выборки устанавливается из соображений баланса точности и величины требуемых затрат. В этом случае принят следующий подход: выборки в зависимости от своего объема подразделяются на большие (n > 30) и малые (n < 30).

Характеристики генеральной и выборочной совокупностей представлены в таблице:

Характеристики генеральной и выборочной совокупностей (формулы и функции Excel)

Характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Среднее значение	Генеральное среднее СРЗНАЧ	Выборочное среднее СРЗНАЧ
Стандартное отклонение	Генеральное стандартное отклонение СТАНДОТКЛОНП	Выборочное стандартное отклонение СТАНДОТКЛОН
Доля	Генеральная доля	Выборочная доля

Обозначения:

x _i — значения признака;

N и n — объемы генеральной и выборочной совокупностей;

M и m — число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

Основные понятия математической статистики имеют аналоги в теории вероятностей.

Соответствие понятий
теории вероятностей и математической статистики

Теория вероятностей	Математическая статистика
Закон распределения вероятностей	Вариационный ряд
Математическое ожидание	Генеральное среднее
Стандартное отклонение	Генеральное стандартное отклонение
Вероятность	Генеральная доля

Долей называется отношение числа элементов совокупности, обладающих некоторым признаком А, к объему этой совокупности.

Если делаются повторные выборки из одной и той же генеральной совокупности, то каждый раз обследуется только какая-то ее часть. При этом неизбежно возникают несоответствия между выборочными характеристиками и характеристиками генеральной совокупности — так называемые ошибки выборки.

Принципиально важно иметь в виду тот факт, что по выборке нельзя определить точное значение генеральной характеристики. Чаще всего она остается неизвестной. Можно найти только ее приближенное значение, которое служит оценкой генеральной характеристики.

Отклонение оценок генеральных характеристик от их истинных значений называют ошибками репрезентативности (или представительности, от слова represent — представлять). Эти ошибки возникают потому, что не все элементы генеральной совокупности представлены в выборке. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Теоретическую основу выборочного метода составляет закон больших чисел, в соответствии с которым при неограниченном увеличении объема выборки случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются к характеристикам генеральной совокупности.

Вопросы

1. Что такое генеральная и выборочная совокупности?

2. Какие понятия теории вероятностей можно поставить в соответствие понятиям математической статистики: вариационный ряд, генеральное среднее, генеральная доля?

3. С какой целью применяется выборочный метод? Какие выборки называют малыми?

4. Приведите пример случайного отбора. Почему при отборе необходимо соблюдать фактор случайности?

3 Файлы электронных версий учебных пособий для решения практических задач

1. Вероятность.xls

2. Статистика.xls

4 Рекомендуемая литература

1. Литература основная

1. Мамасуев А. В., Телепин А. М. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику: Учебное пособие / Под ред. Ю. К. Щипина.— М.: Изд-во МосГУ, 2003. (Серия «Информатика»).

2. Мамасуев А. В., Телепин А. М. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику: Учебное пособие / Под ред. Ю. К. Щипина. — М.: Изд-во МосГУ, 2003. (Серия «Информатика»).

3. Макарова Н. В., Трофимец В. Я. Статистика в Excel: Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Громыко Г. Л. Общая теория статистики: Практикум. — М.:ИНФРА-М, 2000.

5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. — М Высшая школа, 1998.

6. Турецкий В. Я. Математика и информатика: Учебное пособие для ст-ов вузов, обуч. по гуманит. напр. и спец. / Турецкий В. Я.; Уральский гос. ун-т. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА – М., 2004. – 560 с.

Вопросы к зачету

1. Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, виды событий, примеры.

2. Классическое определение вероятности события.

3. Теорема сложения вероятностей совместных и несовместных событий.

4. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность.

5. Полная группа событий.

6. Противоположные события.

7. Формула полной вероятности.

8. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли, формула Пуассона локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Наивероятнейшее число наступления события.

9. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины.

10. Непрерывная случайная величина. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины.

11. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.

12. Понятие о законе больших чисел.

13. Вариационный ряд. Виды вариационных рядов их графическое изображение.

14. Числовые характеристики вариационного ряда.

15. Генеральная и выборочная совокупности.

16. Выборка: виды, способы образования. Основная задача выборочного метода.

17. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность, доверительный интервал.

18. Статистическая гипотеза, статистический критерий.

19. Уровень значимости и мощность критерия.

20. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

21. Понятие о критериях согласия.

22. Критерий Пирсона и схема его применения.

23. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

24. Основные задачи теории корреляции.

25. Линейная регрессия. Уравнения регрессии.

26. Коэффициент корреляции: оценка тесноты и вида связи между признаками Х и Y.

27.. Урна содержит 3 белых и 5 черных шаров. Вероятность достать

первым черный шар, а вторым – белый

а) 3/28;

б) 15/56;

в) 8/15.

28. Случайная величина Х задана на отрезке [-11, 27]. Чему равна вероятность P (-7 < Х)?

а) 34/38;

б) 20/37;

в) 25/38.

29. Количество перестановок в слове «МИР» равно:

а) 6;

б) 9;

в) 16.

30. Наиболее вероятным числом выпадений герба при 4 бросаниях монеты

является:

а) 3 и 2;

б) 4;

в) 3.

31. Первый завод выпускает качественные станки с вероятностью 0,8;

второй завод – 0,7. На каждом заводе купили по одному станку. Вероятность

того, что оба они качественные, равна:

а) 0,87;

б) 1,5;

в) 0,56.

32. Одновременно бросают четыре монеты. Какова вероятность, что все

монеты выпадут одной стороной?

а) 0,0005;

б) 0,125;

в) 0,25.

33. Одновременно бросают 4 кубика. Какова вероятность, что сумма

очков на кубиках не меньше 4?

а) 0;

б) 0,895;

в) 1.

34. Сколько существует способов выбора трех карт из колоды в 36 карт,

так чтобы среди них был один туз?

а) 1244;

б) 1984;

в) 686.

35. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых нет

четных цифр?

а) 294; б) 625;

в) 1584.

36. Сколько возможно различных исходов при одновременном

подбрасывании 4 игральных костей?

а) 1024;

б) 1296;

в) 1684.

37. Чему равна вероятность, что из двух проверенных изделий хотя бы

одно окажется стандартным, если вероятность брака одного изделия составляет

0,1?

а) 0,2;

б) 0,99;

в) 0,96.

38. Имеются три партии деталей по 15 деталей в каждой. Число

стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно

11, 13, 12. Какова вероятность, что наудачу извлеченная деталь окажется

бракованной?

а) 4/15;

б) 11/15;

в) 12/15.

39. ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей

Хi -5 3 6

Рi 0,3 0,2 0,5

Чему равно значение математического ожидания М (Х)?

а) 2,1;

б) 3,6;

в) 5,1.

40. ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей

Хi 1 3 6 7

Рi 0,4 0,3 0,2 0,1

Чему равно значение дисперсии D (Х)?

а) 15,2;

б) 10,24;

в) 4,96.

41. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

42. Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов привозит товар, непригодный к пользованию. Найти вероятность того, что

а) хотя бы два судна привезут качественный товар;

б) ни одно судно не привезет качественный товар.

43. В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:

а) два студента;

б) не менее пяти студентов.

44. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами:

Х:	xi				Y:	yi	-1
pi	?	0,4		pi	0,3	?	0,5

Найти:

а) вероятности P(X = 0) и P(Y = 2);

б) закон распределения случайной величины Z = X – Y;

в) дисперсию D(Z).

45. Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а = 500 и s = 120. Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.

46. Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Наудачу взяли 4 тетради. Найти вероятность того, что из них

а) две тетради в клетку;

б) хотя бы одна тетрадь в клетку.

47. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение доли изделий первого сорта среди отобранных от 0,85 не превосходило 0,01 (по абсолютной величине).

48. Из поступивших в магазин телефонов третья часть белого цвета, однако, определить цвет можно только после вскрытия упаковки. Найти вероятность того, что из шести распакованных телефонов

а) два аппарата белого цвета;

б) хотя бы один аппарат белого цвета.

49. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

xi	-4	-1
pi	0,1	0,2	0,1	0,1	0,4	0,1

Необходимо:

а) составить законы распределения случайных величин Y = 2X и Z = X²;

б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;

в) построить график функции распределения случайной величины Z.

50. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклонится от математического ожидания не более чем на 25000 л (по абсолютной величине).

51. Дан вариционный ряд 150, 195, 220, 230, 255.

Медианой данного ряда является

52. По статистическому распределению выборки определите ее объем

53. Средняя выборочная и мода вариационного ряда 1, 3, 4, 5, 5, 6 равны…

Дан вариционный ряд 102, 68; 73; 88; 92; 99

Медианной данного рядя является

54. По статистическому распределению выборки

установите ее объем.

55. Средняя выборочная и мода вариационного ряда 2, 3, 3, 4, 5 равна …

Дан ранжированный ряд: 25; 30; 31; 35; 36; 39..

Определите медиану ряда

56. По статистическому распределению выборки

установите ее объем.

57. Средняя выборочная и медианна вариационного ряда 3, 4, 4, 2, 1 равны …

58.