Законы распределения случайной величины. ДЕ-1.3, 2.10/2.03, 04, 3.04

Одним из важнейших понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Случайная величина — это переменная, которая в результате испытания случайным образом принимает одно из своих возможных значений. Случайная величина бывает или дискретной, или непрерывной. Значения дискретной случайной величины можно представить в виде отдельных точек на числовой оси. Непрерывная случайная величина принимает возможные значения из конечного или бесконечного интервала.

Случайная величина характеризуется законом распределения. Закон распределения ставит в соответствие значениям случайной величины вероятность их появления.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде таблицы:

хi	x1	x2	x3	...	xn
pi	p1	p2	p3	...	pn

где х_i — возможные значения случайной величины Х;

p_i — соответствующие им вероятности.

При этом должно выполняться следующее равенство:

p₁ + p₂ +... + p_n = 1,

которое называют условием нормировки.

Графическое представление закона распределения называют многоугольником (полигоном) распределения.

Многоугольник распределения лежит в верхней полуплоскости, так как все p_i ³ 0.

Закон распределения позволяет вычислить основные характеристики случайной величины: математическое ожидание среднего значения (обычно говорят просто «математическое ожидание»):

,

и стандартное отклонение:

.

Пример 1. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение для закона распределения, заданного в виде таблицы:

xi					
pi	0,2	0,3	0,4	0,1	1,0

Решение. Определим математическое ожидание и стандартное отклонение:

,

.

Пример 2. В результате 10 опытов получены следующие значения случайной величины: 1, 1, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6. Найдите закон распределения в табличной форме.

Решение. В данном случае в законе распределения вместо вероятности будем использовать относительную частоту появления данных значений f_i:

xi					
ni
fi	2/10=0,2	3/10=0,3	4/10=0,4	1/10=0,1	1,0

Закон распределения непрерывной случайной величины задается с помощью функции f (x), которая каждому значению х случайной величины ставит в соответствие ее вероятность f (x). Функцию f (x) называют плотностью распределения. При всех допустимых х функция f (x)³0.

Вероятность попадания значений случайной величины х в интервал [ a, b ] определяется интегрированием:

.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [ a, b ] равна площади заштрихованной криволинейной трапеции на графике закона распределения:

Если непрерывная случайная величина определена на произвольном интервале Δ, то функция плотности распределения f (x) нормируется так, чтобы интеграл по всему интервалу Δ (который численно равен площади криволинейной трапеции, построенной на этом интервале) был равен 1:

.