Стандартное отклонение и дисперсия. ДЕ-2.8, 9/3.02, 03

Стандартное отклонение σ (или среднее квадратичное отклонение) — числовая характеристика, характеризующая величину разброса значений признака по отношению к своему среднему значению. Стандартное отклонение позволяет судить о надежности среднего значения. При этом связь величины стандартного отклонения и надежности взаимно обратная. Чем больше разброс значений, то есть чем больше стандартное отклонение, тем хуже среднее значение отражает основную характеристику данных. Другими словами, тем ниже надежность среднего как обобщенной характеристики.

Формула простого стандартного отклонения:

,

где x_ср — среднее из x₁, x₂, …, x_n.

Эту формулу можно переписать в сокращенном виде:

.

Простое стандартное отклонение может быть подсчитано с помощью функции Excel СТАНДОТКЛОНП.

СТАНДОТКЛОНП (число1; число2; …),

число1; число2; … — значения массива данных.

Формула взвешенного стандартного отклонения:

,

где f_i — частота i -го признака.

Формулу можно записать значительно короче:

.

Пример 1. Оператор банка в течение 5 дней недели обслужил 5, 8, 7, 6, 4 клиентов. Определите стандартное отклонение количества обслуженных клиентов.

Решение 1. Сначала определим, сколько в среднем в день обслуживается клиентов.

.

Подставим полученные данные в формулу простого стандартного отклонения:

.

Решение 2. Вычислим стандартное отклонение массива данных с помощью Excel, применяя функцию СТАНДОКЛОНП.

	A	В	C	D	E
	Стандартное отклонение	=СТАНДОТКЛОНП(A1: E1)

Ответ: стандартное отклонение σ = 1,4.

Пример 2. Фирма продала 4 пакета туров в разные страны (см. табл. ниже). Определите стандартное отклонение
цен туров.

Цены туров	Хорватия	Австрия	Франция	Греция
Цена, у. е.
Количество туров

Решение 1. Определим среднюю цену:

.

Подставим данные в формулу взвешенного стандартного отклонения:

Стандартное отклонение имеет размерность исследуемого признака и его удобнее, чем дисперсию, применять на практике, поскольку эта характеристика легко физически интерпретируется. В научном анализе чаще используют дисперсию, так как у нее есть ряд полезных математических свойств.

Вопросы

1. Что характеризует среднее значение вариационного ряда? Насколько чувствительно среднее значение к действию случайных факторов?

2. Почему среднее значение иногда называют взвешенным? Что характеризует весовой коэффициент?

3. Какая функция Excel служит для определения среднего значения? Можно ли ее использовать для вычисления среднего взвешенного значения?

4. Что такое медиана и мода вариационного ряда?

5. Какое свойство вариационного ряда характеризуют стандартное отклонение и дисперсия?

6. Какая функция Excel служит для определения стандартного отклонения? Можно ли с ее помощью вычислить взвешенное стандартное отклонение?

7. Чем отличаются размерности стандартного отклонения и дисперсии?