Критерий интегрируемости

Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) = I’. Аналогично (но фиксируя P) получаем, что множество верхних сумм Дарбу ограничено снизу (одной из нижних сумм) =>

$ inf C(Q) = I. " PÇQ: c(P) £ I £ I’£ C(Q)

Th: Пусть f ограничена на [a,b], следующие условия эквивалентны:

1) I = I’

2) " E>0 $ P: C(P) - c(P) < E

3) " E>0 $ d>0: dP < d => C(P) - c(P) < E

4) f Î L[a,b]

Доказательство:

2=>1: c(P) £ I £ I’ £ C(P) => 0 £ I’- I £ C(P) - c(P)

Переходим к пределам и учитывая что lim (C(P)-c(P)) = 0 (2), получим 0£lim(I’-I)£0. Поскольку I & I’ - const, то I’=I

1=>2: I=I’=T

" E>0 $ P: C(P) < T + E/2 (так как T = inf C(P))

" E>0 $ Q: c(Q) > T - E/2 (так как T = sup c(Q)) => -c(Q) < E/2 - T

Сложим C(P) < T + E/2 и -c(Q) < E/2 - T и получим: C(P) - c(Q) < E

3=>4: Требуется доказать: " E>0 $ d>0: dP<d => "M Î midP |s(P,M)-T|< E, где T=I=I'

" E>0 $ d>0: dP<d => C(P) - c(P) < E - (3). Известно что c(P) £ s(P) £ C(P) и что -C(P) £ -T £ C(P), сложим оба неравенства:

-C(P)+c(P) £ s(P)- £ C(P)-c(P) => |s(P)-T| £ C(P)-c(P), (3) C(P)-c(P) < E => |s(P)-T|<E

4=>3: $ T: " E>0 $ d>0: dP<d => " M Î midP |s(P,M)-T|<E/2

T-E/2 < s(P,M) < E/2+T

T-E/2 £ c(P) £ C(P) £ E/2+T => C(P) - c(P) < E

3=>2: Фиксируем P " E>0 $ d>0: dP<d => C(P) - c(P) < E, но это означает, что " E>0 $ P: C(P) - c(P) < E

2=>3: E>0 P' = {x’₀<x’₁<...<x’_N} => C(P') - c(P') < E