![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b.
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b}
midP - множество перестановок (m1,...,mN) Î [a,b] xI-1£mI£xI, i = 1...n
D(xI) = xI-xI-1 - шаг разбиения dP = max D(xI)
f:[a,b]®R фиксируем P & M Î midP
s(P,M) = S1...Nf(mI)D(xI) - интегральная сумма Римана
lim s(P,M) = I при dP®0
Df по Коши: " E>0 $ d>0: dP<d => " M Î midP |s(P,M)-I |<E
Df по Гейне: (PK,MK) MK Î mid PK (dPk®0) => (s(Pk,Mk) ®I)
Th: Два определения эквивалентны:
Доказательство:
К=>Г: dPK®0 (по Гейне), $ kО: " k > kО dPK < w => (по Коши) => |s(PK,MK)-I | < E
Г=>К: Докажем что из отрицания К следует отрицание Г (2 закон логики):
Отрицание Коши: $ E>0: " w>0 $ (P,M) dP<w => |x(P,M)-I| ³ E
Найдется s(PK,MK)=1/k: dPK<1/k => |s(PK,MK)-I |³E, но dPK®0 и если Гейне верен тогда s(PK,MK)®I, но тогда переходя к пределу в выражении |x(P,M)-I|³E получим 0³E - противоречие=>Гейне не верен=>из отрицания Коши следует отрицание Гейне.
lim s(P,M) = I при dP®0, I=
Th: Если f Î L[a,b], то f ограничена на [a,b]:
Доказательство: Достаточно доказать, что если f неогр. на [a,b] => s(PK,MK)>k
Пусть f неограничена на [a,b]: h = b-a / k h = dPK
$ i: f неограничена на f [a+(i-1)h,a+ih],
mj Î [a+(j-1)h,a+jh] - произвольные при j ¹ i
M(m1, m2,...mI,...,mK)
s(PK,MK)=SI¹J(mJ)D(xJ)+f(mI)D(xI) = A + f(mI)D(xI)
|s(PK,MK)| ³ |f(mI)|D(xI) - |A| > k т.к. $ mI: |f(mI)| > k + |A|/h
dPK = b-a/k®0
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 240 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!