Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции

P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b.

P = {a = x₀ < x₁< x₂ <...< x_n-1 < x_n = b}

midP - множество перестановок (m₁,...,m_N) Î [a,b] x_I-1£m_I£x_I, i = 1...n

D(x_I) = x_I-x_I-1 - шаг разбиения dP = max D(x_I)

f:[a,b]®R фиксируем P & M Î midP

s(P,M) = S_1...Nf(m_I)D(x_I) - интегральная сумма Римана

lim s(P,M) = I при dP®0

Df по Коши: " E>0 $ d>0: dP<d => " M Î midP |s(P,M)-I |<E

Df по Гейне: (P_K,M_K) M_K Î mid P_K (dPk®0) => (s(Pk,Mk) ®I)

Th: Два определения эквивалентны:

Доказательство:

К=>Г: dP_K®0 (по Гейне), $ k_О: " k > k_О dP_K < w => (по Коши) => |s(P_K,M_K)-I | < E

Г=>К: Докажем что из отрицания К следует отрицание Г (2 закон логики):

Отрицание Коши: $ E>0: " w>0 $ (P,M) dP<w => |x(P,M)-I| ³ E

Найдется s(P_K,M_K)=1/k: dP_K<1/k => |s(P_K,M_K)-I |³E, но dP_K®0 и если Гейне верен тогда s(P_K,M_K)®I, но тогда переходя к пределу в выражении |x(P,M)-I|³E получим 0³E - противоречие=>Гейне не верен=>из отрицания Коши следует отрицание Гейне.

lim s(P,M) = I при dP®0, I=

Th: Если f Î L[a,b], то f ограничена на [a,b]:

Доказательство: Достаточно доказать, что если f неогр. на [a,b] => s(P_K,M_K)>k

Пусть f неограничена на [a,b]: h = b-a / k h = dP_K

$ i: f неограничена на f [a+(i-1)h,a+ih],

mj Î [a+(j-1)h,a+jh] - произвольные при j ¹ i

M(m₁, m₂,...m_I,...,m_K)

s(P_K,M_K)=S_I¹J(m_J)D(x_J)+f(m_I)D(x_I) = A + f(m_I)D(x_I)

|s(P_K,M_K)| ³ |f(m_I)|D(x_I) - |A| > k т.к. $ m_I: |f(m_I)| > k + |A|/h

dP_K = b-a/k®0